Математическое моделирование в задачах оптимизации показателей качества

Раздел 1. Математическое моделирование в задачах оптимизации показателей качества.

В  СОПОС рассматривается общая схема количественной оптимизации показателей объектов стандартизации, закрепляемых в стандартах. Для решения конкретной задачи оптимизации с применением данной схемы необходимо, используя принципы системного подхода осуществить моделирование  исследуемого объекта. При этом любой объект следует рассматривать как систему, а применительно к задачам стандартизации принцип системности заключается в том, что стандарт следует рассматривать как элемент системы взаимосвязанных стандартов, связанность которой определяется внутренней сущностью объектов стандартизации. Таким образом мы имеем реальную (или проектируемую) систему объектов и соответствующую ей систему взаимосвязанных стандартов, а соотношение между ними и оптимизация параметров осуществляется на основе моделирования систем.

Подобие и модели систем. В широком смысле моделирование  является одним из основных методов исследования в различных областях знаний. При изучении сложных систем моделирование является научно-обоснованным методом определения их характеристик и используется в различных сферах инженерной деятельности для принятия решений. Рассмотрим некоторые понятия, используемые в методологии моделирования.

          Под объектом в теории познания понимается все то, на что направлена человеческая деятельность (objektum – предмет). Разработка методологии моделирования (методологии познания с помощью моделирования) имеет своей целью упорядочение получения информации об объектах, которые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и с внешней средой.

          Гипотезы в научном познании – это определенные предсказания, основанные на опытных данных и наблюдениях. Проверка гипотез осуществляется в ходе специально поставленного эксперимента. При формулировании и проверке гипотез в качестве метода суждения используется аналогия. Аналогия – это суждение о каком-либо существенном или несущественном сходстве двух объектов. При этом понятия существенности или не существенности в данном случае условны и относительны. Они определяются целями проводимого исследования. Научная гипотеза должна создаваться по аналогии с проверенными на практике научными положениями. Это создает связь гипотезы с экспериментом.

          Построение гипотез и аналогий, которые объективно отражают существующий мир основано на исследовании логических схем, обладающих наглядностью и удобных для анализа и называемых моделями (modulus - мера). Таким образом, под моделями могут пониматься логические схемы, которые упрощают рассуждения и позволяют проводить эксперименты, дающие информацию о природе явления. В более общем случае модель – это объект-заместитель объекта-оригинала, который позволяет изучать определенные свойства объекта-оригинала. Соответственно, моделирование – это замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала. В широком смысле моделирование можно определить как метод опосредствованного познания при котором изучаемый объект-оригинал сопоставляется с другим объектом-моделью, который способен замещать в некотором отношении оригинал на определенных стадиях познавательного процесса.

          Моделирование может заключаться в построении некоторой системы - модели, связанной определенными соотношениями с системой-оригиналом на основе подобия. Моделирование является также и познавательным процессом переработки информации, поступающей из внешней среды, в результате чего создаются в сознании образы, соответствующие реальным объектам. Поэтому моделирование является эффективным средством познания природы и для его осуществления необходим объект исследования, субъект – исследователь, конкретная задача исследования, модель, создаваемая для получения информации об объекте, с помощью которой решается поставленная задача. Вместо реального объекта исследователь проводит эксперименты с его моделью, которые позволяют получать информацию о реальной системе и принимать решения в сложных системах. 

          Следует отметить, что моделирование основано на том или ином подобии реального объекта и замещающей его модели. Подобие – это наличие общих свойств, сходства по существу или по некоторым существенным признакам. Два объекта рассматриваются как подобные, если они одинаковы или сопоставимы по некоторым свойствам, но не обязательно по всем. Для ряда объектов можно определить множество различных видов подобия в зависимости от свойств, которые считаются существенными в конкретных условиях. Наиболее распространено и четко сформулировано геометрическое подобие. В геометрии Евклида подобные геометрические фигуры имеют одинаковые углы, а противоположные стороны у них пропорциональны. Преобразование, при котором сохраняется равенство углов и пропорциональность сторон, противолежащих равным углам, называется конформным линейным преобразованием. Преобразование, основанное на общем линейном преобразовании координат в трехмерном декартовом пространстве, называется общим аффинным преобразованием. Это преобразование включает преобразование, сохраняющее форму, симметричное отображение, одномерное растяжение или сжатие, вращение и т. д. Подобие при замене одного элемента множества другим элементом рассматривается как отношение эквивалентности, которое может быть определено при помощи функции или группы отображений этого множества на себя представляющих разбиение этого множества. Примерами классов эквивалентности плоских фигур и блоками разбиения этого множества на основе геометрического подобия, т.е. подобия, сохраняющего форму, являются множества всех равносторонних треугольников, всех квадратов, окружностей, прямоугольников с определенным соотношением сторон и др.

Под отношением моделирования  понимается отношение подобия, определенное на классе систем. Подобные системы имеют некоторые общие характеристики и могут быть преобразованы друг друга.

Моделирование при решении системных задач целесообразно в том случае, если решение задачи для системы-заменителя проще, удобнее, дешевле или безопаснее чем для моделируемой системы. Поэтому реальная система и ее заменитель должны быть подобны в рамках рассматриваемой задачи.

Пусть две системы – изучаемая система X и моделирующая ее система Y подобны относительно класса преобразований, которые могут быть применены к некоторым их характеристикам. В этом случае X называется подлинной системой, а Y – моделирующей системой.

Моделирующая система Y и соответствующее преобразование подобия являются моделью системы X. Отношение подобия, как отношение эквивалентности является симметричным. Поэтому систему Y можно рассматривать как модель системы X. Выбор  из двух подобных систем системы, рассматриваемой в качестве подлинной или моделирующей определяется удобством решения конкретной задачи. Для одной и той же подлинной системы в зависимости от отношения подобия можно построить различные модели, а в зависимости от соотношения вида подлинной и моделирующей системы можно выделить четыре типа моделирующих отношений.