Расчёт статически неопределимых систем (рам и балок): Методическое пособие, страница 6

Таким образом, вид канонического уравнения значительно упрощается:

По общему правилу определяем коэффициенты полученного уравнения:

 - реакции на опорах (n-1) и (n+1) от момента Мn=1

n - горизонтальная проекция отрезка, соединяющего правую опору пролёта ln                               с центром тяжести грузовой эпюры в этом пролёте,

bn+1 - горизонтальная поекция отрезка, соединяющего правую опору пролёта ln+1 с центром тяжести грузовой эпюры в этом пролёте.

Выполнив все подстановки получаем:

В уравнение входят три момента на трёх соседних опорах, поэтому оно носит название «уравнение трёх моментов».

3.  2. б. 5. Примеры решения задач с помощь уравнения трёх моментов.

Для балки, изображённой на рис. 26, а  построить эпюру изгибающих моментов. При решении задачи придерживаемся следующего порядка:

1)  Устанавливаем степень статической неопределимости; заданная система один раз статически неопределима.

2)  Получаем основную, а затем эквивалентную системы (рис. 26,б). Для этого врезаем над опорами шарниры и прикладываем в них моменты.

3)  Строим эпюры изгибающих моментов от внешних нагрузок, действующих в пролётах (рис. 26, в).

4)  Записываем уравнение 3-х моментов применительно к рассматриваемой задаче.

5)  Анализируем уравнение и решение его.

Рис. 25

а

Опоры А и С являются концевыми шарнирными опорами. Изгибающий момент (внутренний силовой фактор) над такими опорами равен нулю, если нет внешних нагрузочных моментов.

б

Следовательно:

   МАС=0

Согласно общим положениям правила Верещагина

в

  т. е.

г

д

е

т. к. на втором пролёте нетт внешних нагрузок. Окачательно уравнение примет вид:

ж

Рис. 26

6)  Построение суммарной эпюры изгибающих моментов.

Суммарная эпюра изгибающих моментов может быть построена двумя способами: графическим суммированием, непосредственным построением. Использование графического суммирования более удобно, если грузовые эпюры линейны (как в нашем случае).

Порядок построения в этом случае следующий.

Сначала строим эпюры изгибающих моментов от найденного значения МВ на эпюру изгибающих моментов от внешних нагрузок (рис. 26, д). Перестраеваем -получаем окончательную суммарную эпюру (рис. 26, е).

при втором способе иостроения рассматриваются две самостаятельные балки АВ и ВС. Балка АВ нагружена внешней нагрузкой и момент МВ=. От их действия вычисляются  опрные реакции и по общему правилу строится эпюра изгибающих моментов (см. Рис. 26, ж). Аналогично решается балка ВС.

Пример 2.

а

Раскрыть статическую неопределимость. Построить суммарную эпюруизгибающих моментов (рис. 27, а).

Для решения задачи вводим фиктивный пролёт СА и далее поступаем по общему правилу: врезаем над опорами шарниры, прикладываем в них моменты и нагружаем балки внешними нагрузками (рис. 27,б).

в

Записываем уравнение трёх моментов:

г

Опора С является фиктивной опорой, поэтому момент на ней равен нулю: Mc=0

Пролёт СА является фиктивным пролётом в реальной балке он отсутствует, поэтому lCA=lф=0.

Рис. 27

Опора В разделяет пролёт lAB и консоль.

Момент возникающий над опорой, создаётся нагрузкой действующей на консоли.

Таким оброзом

Т. к. пролёт СА является фиктивным, то и выражение для него отсутствует, т. е.

=0

для определения величены строим эпюру изгибающих моментов от действия силы Р в пролёте АВ (рис. 27, в)

Окончательно получаем:

а

Суммарную эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (МР), нагрузки на консоли (МВ) и моментов в заделке (МА), получаем суммарную эпюру изгибающих моментов (рис. 27, г).

3.  2. б, 6. Использование свойств симметрии и косой симметрии при расчёте

                    статически неопределимых балок.

б

Балка АВ, представлена на рис. 28, является симметричной как по конструкции, так и по нагружению. Она дважды статически неопределима, т. к. горизонтальные составляющие опрных реакций на опорах А и В равны нулю.

в

Решение задачи значительно упрощается, если использовать свойство симметрии.

Рис. 28

Разрежим балку по оси симметрии и в месте разреза приложим внутренние силовые факторы Mx=X1     и   Qy=X2  (N=X3, как уже говорилось ранее, равно 0)(рис.28,а).

Поперечная сила Qy(или Х2)согласно свойству симметрии, равна нулю.

Таким образом единственным неизвестным является изгибающий момен Мх=Х1. Далее решаем задачу по общему правилу (рис. 28, б).

Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 28, в.

а

Балка АВ, представленная на рис. 29, симметрична по конструкции, но кососеметрична по нагрузкам.

Она дважды статически неопределимая, т. к. горизонтальные составляющие опорных реакций равны нулю.

б

Для упрощения решения используем свойство косой симметрии. Разрежем балку по оси симметрии и в месте разреза приложим неизвестные усилия Х1; Х2; Х3;

 Х3=0 (из условия)

Х2=0 (из свойства косой симметрии.)

в

Таким образом единственным неизвестным будет поперечная сила Х2 (рис.29,б).

Далее решаем задачу по общему правилу:

Рис. 29

Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис,29,в.

Литература.

Феодосьев В. И. Сопративление материалов

Москва, Наука, 1979 год, число стр.-560