Расчёт статически неопределимых систем (рам и балок): Методическое пособие, страница 6

Таким образом, вид канонического уравнения значительно упрощается:

По общему правилу определяем коэффициенты полученного уравнения:

 - реакции на опорах (n-1) и (n+1) от момента М_n=1

_n - горизонтальная проекция отрезка, соединяющего правую опору пролёта l_n                               с центром тяжести грузовой эпюры в этом пролёте,

b_n+1 - горизонтальная поекция отрезка, соединяющего правую опору пролёта l_n+1 с центром тяжести грузовой эпюры в этом пролёте.

Выполнив все подстановки получаем:

В уравнение входят три момента на трёх соседних опорах, поэтому оно носит название «уравнение трёх моментов».

3.  2. б. 5. Примеры решения задач с помощь уравнения трёх моментов.

Для балки, изображённой на рис. 26, а  построить эпюру изгибающих моментов. При решении задачи придерживаемся следующего порядка:

1)  Устанавливаем степень статической неопределимости; заданная система один раз статически неопределима.

2)  Получаем основную, а затем эквивалентную системы (рис. 26,б). Для этого врезаем над опорами шарниры и прикладываем в них моменты.

3)  Строим эпюры изгибающих моментов от внешних нагрузок, действующих в пролётах (рис. 26, в).

4)  Записываем уравнение 3-х моментов применительно к рассматриваемой задаче.

5)  Анализируем уравнение и решение его.

Рис. 25

Опоры А и С являются концевыми шарнирными опорами. Изгибающий момент (внутренний силовой фактор) над такими опорами равен нулю, если нет внешних нагрузочных моментов.

Следовательно:

   М_А=М_С=0

Согласно общим положениям правила Верещагина

  т. е.

т. к. на втором пролёте нетт внешних нагрузок. Окачательно уравнение примет вид:

6)  Построение суммарной эпюры изгибающих моментов.

Суммарная эпюра изгибающих моментов может быть построена двумя способами: графическим суммированием, непосредственным построением. Использование графического суммирования более удобно, если грузовые эпюры линейны (как в нашем случае).

Порядок построения в этом случае следующий.

Сначала строим эпюры изгибающих моментов от найденного значения М_В на эпюру изгибающих моментов от внешних нагрузок (рис. 26, д). Перестраеваем -получаем окончательную суммарную эпюру (рис. 26, е).

при втором способе иостроения рассматриваются две самостаятельные балки АВ и ВС. Балка АВ нагружена внешней нагрузкой и момент М_В=. От их действия вычисляются  опрные реакции и по общему правилу строится эпюра изгибающих моментов (см. Рис. 26, ж). Аналогично решается балка ВС.

Пример 2.

Раскрыть статическую неопределимость. Построить суммарную эпюруизгибающих моментов (рис. 27, а).

Для решения задачи вводим фиктивный пролёт СА и далее поступаем по общему правилу: врезаем над опорами шарниры, прикладываем в них моменты и нагружаем балки внешними нагрузками (рис. 27,б).

Записываем уравнение трёх моментов:

Опора С является фиктивной опорой, поэтому момент на ней равен нулю: M_c=0

Пролёт СА является фиктивным пролётом в реальной балке он отсутствует, поэтому l_CA=l_ф=0.

Опора В разделяет пролёт l_AB и консоль.

Момент возникающий над опорой, создаётся нагрузкой действующей на консоли.

Таким оброзом

Т. к. пролёт СА является фиктивным, то и выражение для него отсутствует, т. е.

=0

для определения величены строим эпюру изгибающих моментов от действия силы Р в пролёте АВ (рис. 27, в)

Окончательно получаем:

Суммарную эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (М_Р), нагрузки на консоли (М_В) и моментов в заделке (М_А), получаем суммарную эпюру изгибающих моментов (рис. 27, г).

3.  2. б, 6. Использование свойств симметрии и косой симметрии при расчёте

                    статически неопределимых балок.

Балка АВ, представлена на рис. 28, является симметричной как по конструкции, так и по нагружению. Она дважды статически неопределима, т. к. горизонтальные составляющие опрных реакций на опорах А и В равны нулю.

Решение задачи значительно упрощается, если использовать свойство симметрии.

Разрежим балку по оси симметрии и в месте разреза приложим внутренние силовые факторы M_x=X₁     и   Q_y=X₂  (N=X₃, как уже говорилось ранее, равно 0)(рис.28,а).

Поперечная сила Q_y(или Х₂)согласно свойству симметрии, равна нулю.

Таким образом единственным неизвестным является изгибающий момен М_х=Х₁. Далее решаем задачу по общему правилу (рис. 28, б).

Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 28, в.

Балка АВ, представленная на рис. 29, симметрична по конструкции, но кососеметрична по нагрузкам.

Она дважды статически неопределимая, т. к. горизонтальные составляющие опорных реакций равны нулю.

Для упрощения решения используем свойство косой симметрии. Разрежем балку по оси симметрии и в месте разреза приложим неизвестные усилия Х₁; Х₂; Х₃;

 Х₃=0 (из условия)

Х₂=0 (из свойства косой симметрии.)

Таким образом единственным неизвестным будет поперечная сила Х₂ (рис.29,б).

Далее решаем задачу по общему правилу:

Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис,29,в.

Литература.

Феодосьев В. И. Сопративление материалов

Москва, Наука, 1979 год, число стр.-560