Расчёт статически неопределимых систем (рам и балок): Методическое пособие, страница 2

рис. 7

рис. 8

Наиболее рациональным будет вариант «в» (рис.3), при котором часть неизвестных окажутся равными нулю. Более подробно об этом будет сказано при разборе примеров.

2.2 Основная и эквивалентная системы для балок.

При выборе основной системы для балок возможны два подхода. В одних случаях за «лишние» неизвестные целесообразно принимать вертикальные составляющие опорных реакций (рис.9,а). Тогда основной системой будет статически определимая балка значительной длины (рис.9,б), а эквивалентной - эта же балка, нагруженная внешними силами и специально подобранными усилиями  X , обеспечивающими отсутствие вертикальных смещений на опорах В и С (рис.9,в).

а

б

в

рис. 9

В других случаях в качестве «лишних» неизвестных целесообразно взять надопорные изгибающие моменты (рис.10).

рис. 10

В

В этом случае основной системой будет ряд последовательно стоящих статически определимых балок, а эквивалентной - эти же балки нагруженные внешними нагрузками и надопорными моментами, выполняющими функции неизвестных усилий. Величина моментов должна быть подобрана так, чтобы не было разрыва сплошности балки и углы поворота концевых сечений одной балки относительно другой отсутствовали.

3. СОСТАВЛЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА СИЛ

 И ИХ РЕШЕНИЕ.

3.1. Основные положения сопротивления материалов,

        используемые при расчёте рам и балок.

3.1, а. Принцип неизменяемости начальных размеров.

Рассматриваемые конструкции рам и балок являются достаточно жёсткими, а материал, из которого они изготовлены, достаточно упругим. Нагрузки, действующие на конструкцию, не вызывают в её элементах пластических деформаций. Все деформации происходят в пределах упругости, перемещения (как линейные, так и угловые) настолько малы, что форма и размеры конструкции практически не изменяются. Это позволяет использовать для расчётов постоянную схему, сохраняющую свою первоначальную форму и размеры. Такой подход открывает широкие возможности для применения принципа независимости действия сил.

3.1, б. Принцип независимости и сложения действия сил.

а

Так как конструкция работает в пределах упругости, то конечный результат силового воздействия не зависит от порядка приложения сил.

б

в

Применительно к случаю статически неопределимых рам и балок это означает следующее: если на раму (балка) действует группа внешних сил, то внутренние усилия, в интересующем сечении, или смещения, в интересующем направлении, могут быть вычеслины от каждой силы отдельно, а результаты просуммированы.

г

рис. 11

Так, например, при определении суммарного изгибающего момента в сечении балки (рис.11, а) можно построить отдельно эпюры от «m» и «P», а результаты сложить (рис.11, б). В случае необходимости можно поступить и наоборот: «расслоить» сложную эпюру (на участке ВС) на более простые (рис.11, в).

Всякая внешняя нагрузка может быть представлена в виде произведения  I*P  или  I*m, где I имеет точку приложения и направление действия, а сомножитель Р определяет абсолютное значение силы (или момента). Аналогично может быть представлено любое известное или неизвестное усилие Х, т.е. Х=1*Х . Приём расслоения эпюр используется и при определении перемещений, возникающих вследствие действия внешних сил. Перемещения принято обозначать  Dikи dik, где первый индекс (i) обозначает точку и направление перемещения, а второй (k) указывает на силу, послужившую причиной перемещения. Так для схемы нагружения, представленной на рис.11, перемещение в точке А по направлению силы «Р» будем считать первым направлением, а саму силу Р - первой силой; момент «m», приложенный в точке В - второй силой.

 Тогда перемещение (прогиб) в точке А будет:

                  или                  

 где d11 - перемещение по направлению первой силы действия первой силы, равной 1,

       d12 - перемещение по направлению первой силы от действия второй силы, равной 1.

                        

                      или

                      

Соответственно, угол поворота сечения в точке В будет равен:                           или                            

                       или

3.1, в. Взаимность перемещений.

Перемещение точки приложения первой силы по направлению первой силы, вызванное второй силой, равно перемещению точки приложения второй силой, если силы между собой равны, т.е.

d12=d21

Так, в рассмотренном выше примере,

                     ,   а

            ,  т.е.     d12=d21

Таким образом, если найден коэффициент d12, то нет обходимости вычислять коэффициент d21, и при решении задач можно сократить объём вычислений.

3.2. Канонические уравнения метода сил.

Используя всё выше изложенное, можно приступить к составлению уравнений, описывающих особенности работы статически неопределимых рам и балок.

3.2,а. Статически неопределимые рамы.

3.2,а.I. Подробный разбор раскрытия статической неопределимости у рам.

На рис. 12,а изображена плоская статически неопределимая рама с защемлёнными концами.

Эта рама трижды статически неопределима. Наиболее рациональным вариантом эквивалентной системы будет вариант, приведенный на рис. 12,б. Заданная конструкция рамы предполагает, что перемещения в точке В (защемлены) по всем трём направлениям (1,2,3) отсутствуют, т.е. D1=0; D2=0; D3=0.

В развёрнутом виде это может быть записано следующим образом: