Магнитное поле в вакууме. Основные определения и формулы. Магнитное поле равномерно движущегося заряда, страница 4

B = µqv .

Fлор = qvB = µ0q v2 22 = Fкул = 1 q2 .

                             4πr                  4πε r

Отсюда v2 = 1 , v = 1 = c  скорость света.

                               µ0ε0                      µε0 0

Материальные частицы с m ≠ 0 не могут двигаться с такой скоростью. Здесь показано, что Fмагн $ Fэлект взаимодействия и эти силы сравниваются только при v = c . Это получено для нерелятивистских частиц и Fкул>Fлор. Ответ: частицы разлетаются.

10.  Смоделировать траекторию заряженной частицы в магнитном поле можно, натянув в зазоре магнита проволоку с током. С какой силой F надо натянуть проволоку с током I =1 А, чтобы имитировать траекторию протона с энергией W =1 МэВ?

Решение:

 

На изогнутый элемент тока dl = Rdα (R  радиус кривизны) действуют с двух концов силы натяжения F . Их результирующая равна

Fрез  F F   Fd        .

Она уравновешена силой Ампера: FА = Fрез или IdlB = Fdα (dl = Fdα), F = IRB.

Но протоны в постоянном поле летят по окружности: mp vR2 = evB (evB  сила Лоренца) с радиусом R = m veBp , где mp v22 =W  энергия протона. v = 2mWp , R = 2eBmp и сила натяжения F = Il 2m Wp =0,14 Н.

Ответ: F = Il   2m W=0,14 Н.

11.  Частицы с зарядом q и массой m ускоряются в циклотроне так, что максимальный радиус орбиты равен r . Частота генератора циклотрона ν, эффективное напряжение между дуантами U . Пренебрегая шириной зазора между дуантами найти полное время процесса ускорения частицы и найти приближенное значение пройденного ею при ускорении пути при величинах: q =1,0⋅1020 Кл, m =1027 кг, r =1 м, ν =10 МГц, U = 20 кВ.

Решение:

В дуантах частица движется по окружности с радиусом r , где

m v2 = Fл = qvB, r = mvqB . r

Период обращения частицы: 

T2 = πvr  при движении от зазора до зазора, т.е. T = 2qBπm не зависит от скорости частицы, т.о. ν = T1 = 2qBπm и B = 2π νqm  индукция поля в циклотроне.


При заданном r конечная скорость частицы после ускорения v = rqBm , а энергия W = mv2 2 = 2π ν2m 2r2 приобретается частицей скачками. Каждый раз, проходя разность потенциалов U в зазоре, она приобретает энергию

W1 = qU , т.е. W = NW1, где N = W = 2π ν2m 2r2             число пролетов через

                                                                                     W1                qU

ускоряющий зазор.

Это число N .

Т.к. при полном обороте частица дважды проходит зазор, а период оборота не зависит       от      скорости     (постоянен),         то время          ускорения t T          секунд.

Пройдя путь n раз частица имеет энергию Wn = nqU = mv2n2 и скорость vn = 2nqUm .

До следующего зазора она пройдет путь sn = vn T2 = 2vνn , т.е. общий путь

частицы s   n .

Т.к. N &1, то считая 1≈ dn , находим nN=1 n N0   ndn = 32 n32 0N = 32 N 32 или

3

s = 31ν 2qUm N 32 = 31ν 2qUm  2π ν2qUm 2r2  2 = 4m3π νqU2r3                 2 ≈ 2⋅104 м.

Ответ: t = π2qUmvr2 ≈ 5⋅104 секунд, s м.

Магнитный момент контура с током:

12. Равномерно заряженный с поверхностной плотностью σ диэлектрический диск радиуса R вращается с угловой скоростью ω вокруг своей оси. Определить его магнитный момент.

Решение:

Разбиваем диск на бесконечно узкие кольца радиуса r и толщины dr . Заряд на таком кольце dq =σ π⋅2 rdr при вращении диска делает один оборот за время ∆ =t  и образует круговой ток dI = dqt =σωdr.

Магнитный момент этого тока направлен вдоль оси диска и равен dpm = dI S⋅ , где S r2  площадь, охватываемая током dI .

Складывая магнитные моменты всех колец, т.е. интегрируя по r , получим магнитный момент всего диска: R R4 .

Ответ: pm = πσω4R4 .

13. Равномерно заряженный с плотностью ρ шар радиуса R вращается с угловой скоростью ω вокруг своей оси. Определить его магнитный момент.