3. Свободные колебания одноосного вагона с учетом упругости пути.
3.1. Математическая модель и её решение
Для выбора расчетной схемы принмем следующие допущения.
Части вагона обладают только свойствами инерции, упругими свойствами не обладают.
Рессорное подвешивание и путь обладают только упругими свойствами, свойствами инерции и трения не обладают.
Уравнение движения:
(1)
Преабразуем систему (1): раскроем скобки,
разделим каждое равнение на коэффициент
при старшей производной, перенесем все
члены в право и введем обозначения:
В результате получим систему уравнений
в следующем виде:
(2)
Решение системы ищем в виде следующих функций:
(3)
где A,B,-неизвестные постоянные величины.
В результате получена алгебраическая система двух однородных уравнений, но с тремя неизвестными. Известно, что любая система однородных уравнений имеет не нулевое решение только в случае равенства нулю её определителя. Выпишем определитель и приравняем его к нулю. Такой определитель называется характеристическим.
(5)
Раскрыв определитель получим характеристическое уравнение относительно λ2:
Найдем корни этого уравнения, обозначив их через λ12 и λ22:
Упростим подкоренное выражение
Заметим следующую зависимость между собственными частотами и парциальными частотами:
.
Оценим знак разности
;
Из последнего выражения следует, что: < 0; > 0.
Аналогично можно получить, что: > 0; < 0.
Используя полученные результаты построим общее решение поставленной задачи.
Частное решение системы (2):
при λ = λ1
при λ = λ2
Общее решение построим как сумму частных:
Полученное решение содержит шесть неизвестных нам постоянных величин: A1,A2,B1,B2,α1 и α2. Для определения неизвестных величин можно задать только четыре начальных условия: z=z0, и zk=zk0, . То есть только начальных условий не достаточно.
Вернемся к системе алгебраических уравнений (4) и подставим в неё поочередно конкретные значения λ=λ1 и λ=λ2. В результате дважды получим алгебраическую систему с равным нулю определителем.
Это говорит о том, что получены не системы из двух уравнений, а дважды по одному уравнению в разных видах. Их них можно определить только отношения неизвестных величин.
Из первых двух уравнений следует:
B1/A1 = ν22-λ12/ν12 =ν32/ν12-λ12 =1>0.
Из вторых: B2/A2 = ν22-λ22/ν12 =ν32/ν12-λ22 =2<0.
Полученные выражения – отношения амплитудных значений координат при колебаниях изучаемой системы с её собственными частотами называются собственными или главными формами колебаний. Они как и собственные частоты не зависят от начальных условий и являются динвмическими свойствами изучаемой системы.
Теперь, с учетом, что B1=A1·1 и B2=A2·2 общее решение примет вид содержащий только четыре неизвестных величины:
Четырех нечальных условий достаточно для их однозначного определения.
3.2. Графическое представление собственных форм
Для грузового вагона в одном из режимов загрузки 1=1/7;2=-7,15.Графически это можно изобразить, например, так:
Парциальные системы и парциальные частоты
Первая парциальная система – закреплена координата zk.
Уравнение движения
Первая парциальная частота
.
Вторая парциальная система– закреплена координата z.
Уравнение движения
3.3. Заключение
Проведенный анализ позволяет заключить следующее.
1. Как кузов, так и неподрессоренные части вагона при свободных колебаниях движутся со всеми собственными частотами присущими ему как динамической системе.
2. Основной систавляющей колебаний кузова является движение с низшей собственнной частотой, λ1, колебания с высокой частотой, λ2, проявляются на кузове в виде вибраций с незначительной амплитудой.
3. Основной систавляющей колебаний неподрессоренных частей является движение с высокой собственнной частотой, λ2, колебания с низшей частотой, λ1, проявляются на них с незначительной амплитудой.
4. При первой собственной форме колебаний (колебания только с частотой λ1) кузов и неподрессоренные части движутся в фазе, то есть в одном направлении, так как >0. Колебания при второй собственной форме (колебания только с частотой λ2) кузов и неподрессоренные части движутся в противофазе, – то есть в разных направлениях, так как >0.
5. Собственные формы колебаний позволяют определить связность колебаний частей системы по обобщенным координатам и проявляются в резонансных режимах.
6. Зная собственные частоты и связность колебаний частей системы по обобщенным координатам можно определить количество и величины критических или резонансных скоростей движения вагона.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.