Свободные колебания одноосного вагона с учетом упругости пути

3. Свободные колебания одноосного вагона с учетом упругости пути.

3.1. Математическая модель и её решение

Для выбора расчетной схемы принмем следующие допущения.

Части вагона обладают только свойствами инерции, упругими свойствами не обладают.

Рессорное подвешивание и путь обладают только упругими свойствами,  свойствами инерции и трения не обладают.

Вагон в условиях данной задачи представим простейшей расчетной схемой.                     

 

                            Уравнение движения:

                                      (1)

                      Преабразуем систему (1): раскроем скобки,

                разделим каждое равнение на коэффициент

               при старшей производной, перенесем все

            члены в право и введем обозначения:

                 

                     В результате получим систему уравнений       

в следующем виде:

                                          (2)

Решение системы ищем в виде следующих функций:

                                             (3)

где A,B,-неизвестные постоянные величины.

Подставим (3) в (2) и потребуем, чтобы коэффициенты при соответствующих трегонометрических функциях слева и справа от знака равенства были равны для любого момента времени.

                                    (4)

В результате получена алгебраическая система двух однородных уравнений, но с тремя неизвестными. Известно, что любая система однородных уравнений имеет не нулевое решение только в случае равенства нулю её определителя. Выпишем определитель и приравняем его к нулю. Такой определитель называется характеристическим.

                                     (5)                              

Раскрыв определитель получим характеристическое уравнение относительно λ²:

             

Найдем корни этого уравнения, обозначив их через λ₁² и λ₂²:

          

Упростим подкоренное выражение

             

Заметим следующую зависимость между собственными частотами и парциальными частотами:

                     .

Оценим знак разности

       ;

      

Из последнего выражения следует, что: < 0; > 0.

Аналогично можно получить, что: > 0; < 0.

Используя полученные результаты построим общее решение поставленной задачи.

Частное решение системы (2):

 при λ = λ₁     

               

 при λ = λ₂     

               

Общее решение построим как сумму частных:

            

            

Полученное решение содержит шесть неизвестных нам постоянных величин: A₁,A₂,B₁,B₂,α₁ и α₂. Для определения неизвестных величин можно задать только четыре начальных условия: z=z₀,  и z_k=z_k0, . То есть только начальных условий не достаточно.

Вернемся к системе алгебраических уравнений (4) и подставим в неё поочередно конкретные значения λ=λ₁ и λ=λ₂. В результате дважды получим алгебраическую систему с равным нулю определителем.

                       

Это говорит о том, что получены не системы из двух уравнений, а дважды по одному уравнению в разных видах. Их них можно определить только отношения неизвестных величин.

Из первых двух уравнений следует:

           B₁/A₁ = ν₂²-λ₁²/ν₁² =ν₃²/ν₁²-λ₁² =₁>0.

Из вторых:  B₂/A₂ = ν₂²-λ₂²/ν₁² =ν₃²/ν₁²-λ₂² =₂<0.

    Полученные выражения – отношения амплитудных значений координат при колебаниях изучаемой системы с её собственными частотами называются собственными или главными формами колебаний. Они как и собственные частоты не зависят от начальных условий и являются динвмическими свойствами изучаемой системы.

Теперь, с учетом, что B₁=A₁·₁ и B₂=A₂·₂ общее решение примет вид содержащий только четыре неизвестных величины:

           

           

Четырех нечальных условий достаточно для их однозначного определения.

3.2. Графическое представление собственных форм

Для грузового вагона в одном из режимов загрузки ₁=1/7;₂=-7,15.Графически это можно изобразить, например, так:

                 

Процесс колебаний частей системы во времени имеет вид:

Парциальные системы и парциальные частоты

Первая парциальная  система – закреплена координата z_k.

                       

                        Уравнение движения

                          

                       Первая парциальная  частота

                            .

Вторая парциальная  система– закреплена координата z.

 

                         Уравнение движения

                          

                         Вторая парциальная  частота

                           

3.3. Заключение

Проведенный анализ позволяет заключить следующее.

1.  Как кузов, так и неподрессоренные части вагона при свободных колебаниях движутся со всеми собственными частотами присущими ему как динамической системе.

2.  Основной систавляющей колебаний кузова является движение с низшей собственнной частотой, λ₁, колебания с высокой частотой, λ₂, проявляются на кузове в виде вибраций с незначительной амплитудой.

3.  Основной систавляющей колебаний неподрессоренных частей является движение с высокой собственнной частотой, λ₂, колебания с низшей частотой, λ₁, проявляются на них с незначительной амплитудой.

4.  При первой собственной форме колебаний (колебания только с частотой λ₁) кузов и неподрессоренные части движутся в фазе, то есть в одном направлении, так как >0. Колебания при второй собственной форме (колебания только с частотой λ₂) кузов и неподрессоренные части движутся в противофазе, –  то есть в разных направлениях, так как >0.

5.  Собственные формы колебаний позволяют определить связность колебаний частей системы по обобщенным координатам и проявляются в резонансных режимах.

6.  Зная собственные частоты и связность колебаний частей системы по обобщенным координатам можно определить количество и величины критических или резонансных скоростей движения вагона.