Функциональные ряды (Понятие функционального ряда. Степенные ряды и их свойства. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Ряды Фурье), страница 5

. (3.51)

Аналогично, умножая равенство (3.49) на и интегрируя в пределах от до , получаем:

откуда

. (3.52)

Таким образом, коэффициенты и ряда (3.49) определяются единственным образом формулами (3.50) – (3.52), что и доказывает теорему.

Эта теорема дает основание ввести следующее определение.

Определение. Функциональный ряд вида:

, (3.53)

где коэффициенты определяются по формулам:

(3.54)

называется рядом Фурье функции f(x). Отметим, что всегда .

Выясним, какими свойствами должна обладать функция f(x), чтобы построенный для нее ряд Фурье сходился, и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках.

Определение. Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a, b], если отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы так, чтобы в каждом из них функция была монотонна.

Из определения следует, что если функция f(x) – кусочно-монотонна и ограниченная на отрезке [a, b], то она может иметь только точки разрыва первого рода. Действительно, если есть точка разрыва функции f(x), то в силу монотонности функции существуют пределы:

т.е. точка есть точка разрыва первого рода (рис. 3.4).

Сформулируем теорему, которая дает достаточные условия представимости функции f(x) рядом Фурье.

Теорема 3.7. Если функция f(x) периодическая с периодом , кусочно-монотонна и ограниченна на отрезке , то

для любой точки непрерывности (т.е. является суммой своего ряда Фурье). Если же точка – точка разрыва первого рода функции , то сумма ряда Фурье в этой точке

где – пределы слева и справа соответственно в точке х.

Из теоремы следует, что в точках непрерывности функции и сумма равна среднему арифметическому пределов слева и справа функции в точках разрыва первого рода.

Из теоремы следует также, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных разделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию , имеющую период и заданную на промежутке следующим образом:

	если ,
	если .

Решение. Функция (рис. 3.5) имеет точки разрыва , .

Так как кусочно-монотонная и имеет на отрезке лишь одну точку разрыва первого рода , то во всех точках непрерывности функция разлагается в ряд Фурье. Найдём коэффициенты ряда по формулам (3.54):

;

, ;

, .

Подставляя найденные коэффициенты в ряд (3.53), получаем:

для любого, . В точках сумма найденного ряда (рис. 3.6).

Пусть есть периодическая функция с периодом , вообще говоря, отличным от . Разложим её в ряд Фурье.

Сделаем замену переменной по формуле . Тогда функция будет периодической функцией от с периодом . Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке :

, (3.55)

где , , .

Возвратимся теперь к старой переменной :

, , .

Тогда

, , , (3.56)

где . Формула (3.55) получит вид:

, (3.57)

где коэффициенты вычисляются по формулам (3.56). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2l.

Теорема 3.8. Если периодическая функция с периодом кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке , то её ряд Фурье (3.57) сходится для любого к сумме:

Нетрудно видеть, что если периодическая функция чётная, то она разлагается в ряд Фурье только по косинусам, а если нечётная, то по синусам. Из определения чётной и нечётной функции следует, что если – чётная функция, то , а если – нечётная функция, то . Таким образом, если в ряд Фурье разлагается нечётнаяфункция , то произведение есть функция также нечётная, а – чётная, следовательно,

(3.58)

т.е. ряд Фурье нечётной функции содержит «только синусы»:

. (3.59)

Если в ряд Фурье разлагается чётная функция , то произведение есть функция нечётная, – чётная и, следовательно,

(3.60)

т.е. ряд Фурье чётной функции содержит «только косинусы»:

. (3.61)

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при нахождении коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является чётной или нечётной.

Формулы (3.58) – (3.61) справедливы и в том случае, когда – периодическая функция с периодом .

Рассмотрим разложение в ряд Фурье непериодической функции .

Если функция определена только на отрезке , то рассматривают её периодическое продолжение (с периодом ) на всю числовую ось и разлагают его в ряд Фурье обычным образом.

Если функция задана на отрезке , то сначала продолжают её на отрезке чётным или нечётным образом, а затем периодически продолжают на всю числовую ось.

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию , определённую на отрезке равенством: .

Решение. Функцию можно продолжить на отрезке либо чётным (рис. 3.7), либо нечётным (рис. 3.8) образом, а затем рассмотреть её периодическое (с периодом ) продолжение на всю числовую ось.

Чётное продолжение функции непрерывно на всей действительной оси и разлагается в ряд по косинусам, а нечётное продолжение имеет разрыв первого рода в точках и разлагается по синусам.