Математика \ Высшая математика

Функциональные ряды (Понятие функционального ряда. Степенные ряды и их свойства. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Ряды Фурье), страница 2

Следовательно, ряд (3.6) сходится абсолютно при . Если же , то ряд (3.11) расходится, причём его общий член не стремится к нулю (см. теорему 3.5). Но тогда и общий член данного степенного ряда (3.6) не стремится к нулю, а это значит (на основании достаточного признака расходимости), что этот степенной ряд расходится (при ). Полученный интервал есть интервал сходимости степенного ряда (3.6), т.е.

Таким образом, радиус сходимости степенного ряда определяется формулой:

. (3.12)

Аналогичным образом для определения интервала сходимости можно воспользоваться радикальным признаком Коши (см. теорему 3.6), и тогда

. (3.13)

Рассмотрим степенной ряд (3.5), т.е. ряд вида:

Для определения сходимости этого ряда сделаем замену переменной:

После этой замены ряд (3.5) имеет вид:

, (3.14)

т.е. получили степенной ряд вида (3.6), расположенный по степеням .

Пусть интервал есть интервал сходимости ряда (3.14). Отсюда следует, что ряд (3.5) будет сходиться при значениях , удовлетворяющих неравенству: или , и будет расходиться вне этого интервала.

Таким образом, интервал сходимости степенного ряда (3.5) есть интервал с центром в точке и радиуса , т.е. интервал , причём радиус сходимости ряда определяется также по формуле (3.12) или по формуле (3.13).

Замечание: для нахождения области сходимости степенного ряда (3.6) необходимо сначала определить радиус сходимости, используя формулы (3.12) или (3.13). Если – конечное число, , то для нахождения области сходимости степенного ряда (3.6), кроме нахождения интервала сходимости, необходимо исследовать сходимость ряда (3.6) на концах этого интервала, т.е. в точках и , и присоединить к интервалу , тот конец, в котором ряд (3.6) сходится. Таким образом, областью сходимости ряда (3.6) будет один из промежутков: , , или . Если , то область сходимости состоит из одной точки . Если , то областью сходимости будет вся числовая ось .

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Найдём радиус сходимости ряда по формуле (3.12). Так как

, ,

то .

Определим интервал сходимости ряда. Так как , то интервал сходимости или . На концах этого интервала ряд может сходиться или расходиться.

При получаем ряд:

который расходится, так как его члены больше членов расходящегося гармонического ряда.

При получаем знакочередующийся ряд:

члены которого по абсолютной величине убывают и . Следовательно, знакочередующийся ряд сходится (по признаку Лейбница), причём сходится условно, так как соответствующий знакоположительный ряд расходится.

Таким образом, область сходимости данного ряда: (0, 4].

3.3. Свойства степенных рядов

Теорема 3.3. Степенной ряд:

(3.15)

мажорируем на любом отрезке , целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Доказательство. По условию , а поэтому числовой ряд (с положительными членами):

(3.16)

сходится. Но при члены ряда (3.15) по абсолютной величине не больше соответствующих членов ряда (3.16). Следовательно, по определению ряд (3.15) мажорируем на отрезке (рис. 3.3).

Следствие 1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда S(x) есть непрерывная функция.

Следствие 2. Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда (т.е. если , то ряд можно почленно интегрировать):

Представляет интерес интегрирование степенного ряда (3.15) по отрезку , где :

В этом случае опять получаем степенной ряд, который имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (3.15).

Следствие 3. Если степенной ряд сходится в интервале (–R, R), то его сумма S(x) представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка. Каждая производная есть сумма ряда, получающегося в результате почленного дифференцирования данного ряда (3.15) соответствующее число раз; при этом интервал сходимости каждого ряда, получившегося в результате дифференцирования, есть тот же интервал (–R, R), т.е.

, …, если .

Пусть функция S(x) является суммой степенного ряда: на интервале сходимости , другими словами, S(x) разлагается в степенной ряд:

(3.17)

Так как ряд (3.17) приводится к виду (3.15) заменой переменной , то функция S(x) обладает следующими свойствами:

1) функция S(x) непрерывна на интервале ;

2) степенной ряд (3.17) можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, т.е.

а это означает, что функция S(x) в интервале сходимости дифференцируема бесконечное число раз;

3) степенной ряд (3.17) можно почленно интегрировать по любому отрезку , если , причем

Теорема 3.4. Если функция на интервале разлагается в степенной ряд:

, (3.18)

то это разложение единственно.

Доказательство. По условию ряд (3.18) сходится на интервале , и функция – его сумма. Следовательно, на основании второго свойства, ряд (3.18) можно почленно дифференцировать на интервале любое число раз. Дифференцируя, получаем: