Функциональные ряды (Понятие функционального ряда. Степенные ряды и их свойства. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Ряды Фурье), страница 3

Для функции , имеющей все производные до -го порядка включительно, в окрестности точки  справедлива формула Тейлора /5/:

.  (3.20)

Остаточный член формулы Тейлора  может быть вычислен по формуле:

,                                   (3.21)

где  – некоторая точка между  и , т.е.  для некоторого .

При  формула (3.20) называется формулой Маклорена.

Если функция  имеет производные всех порядков в окрестности точки , то в формуле Тейлора (3.20) число  можно брать сколь угодно большим. Допустим, что в рассматриваемой окрестности остаточный член  стремится к нулю при , т.е.  . Тогда, переходя в формуле (3.20) к пределу при , получим справа бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:

  (3.22)

При  получаем ряд, который называется рядом Маклорена:

                    (3.23)

Формулы (3.22) и (3.23) справедливы лишь в том случае, если  при . В этом случае ряды справа сходятся и их сумма равна данной функции . Докажем, что это действительно так.

Теорема 3.5. Для того чтобы ряд Тейлора (3.22) сходился на  и имел своей суммой функцию , необходимо и достаточно, чтобы на  остаточный член  формулы Тейлора (3.20) стремился к нулю при , т.е.  для любого .

Доказательство

1) Необходимость. Пусть функция  – сумма ряда Тейлора на , т.е. , где  – -я частичная сумма ряда (3.20).

Формулу Тейлора (3.20) можно представить в виде:

,                                                (3.24)

где -й остаток ряда  определяется формулой (3.21). Из равенства (3.24) следует, что  для любого .

2) Достаточность. Пусть  для любого . Тогда из равенства (3.24) следует, что , т.е. . А это означает, что ряд Тейлора (3.22) сходится на интервале , и его сумма для любого x из этого интервала равна: .

Из доказательства теоремы 3.4 следует, что если функция  разлагается в ряд Тейлора (степенной ряд), то это разложение единственное.

Если , то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции). Поэтому, для того чтобы доказать, что формально выписанный ряд Тейлора сходится к данной функции, нужно доказать, что остаточный член стремится к нулю.

Рассмотрим разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию: .

Решение. Найдём производные функции  и вычислим их при :

, , …, , …

Значит, , , …, , … В результате, получаем ряд:

                                            (3.25)

Покажем, что полученный ряд сходится к функции . Найдём интервал сходимости степенного ряда (3.25):

,

следовательно, ряд (3.25) абсолютно сходится на всей числовой прямой.

Докажем теперь, что функция  – сумма ряда (3.25). Остаточный член

,

где число  лежит между 0 и . Отсюда следует, что

.                                                  (3.26)

Так как ряд (3.25) сходится, то используя необходимый признак сходимости ряда (теорема 3.1), можно записать:  ,  тогда и  .

Поэтому, переходя к пределу в неравенстве (3.26) при , получаем, что

при любом  и, следовательно, функция  является суммой ряда (3.25).

Таким образом, при любом  имеет место разложение:

В общем случае разложение в степенные ряды основано на использовании рядов Тейлора или Маклорена. Но на практике степенные ряды многих функций можно найти формально, используя известные разложения (например, как для функции ) или формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Иногда при разложении полезно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов. В интервале сходимости ряды сходятся к соответствующим функциям.

Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию: f(x) = chx.

Решение. Так как chx, то воспользуемся разложением:

  ,

где вместо  подставляем  , тогда

Полученный ряд сходится при любых .

Теперь найдём разложение функции chx:

chx

.

Таким образом,

chx ,

причём ряд сходится при любом .

Пример 5. Рассмотрим ряд:    Данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии с первым членом  и знаменателем . Как известно, при  данный ряд сходится и его сумма равна . Следовательно,

                                      (3.27)

Данное равенство является разложением функции  в степенной ряд (ряд Маклорена) на интервале .

Пример 6. Рассмотрим функцию . Используя разложение (3.27), можно записать:

Полученный ряд сходится при , значит, его можно почленно интегрировать на любом отрезке . Следовательно,

.

С другой стороны,

arctg arctg x,

поэтому

arctg x,

т.е. получили ряд Маклорена, сходящийся к данной функции при . Можно доказать, что ряд сходится и для , и что для обоих этих значений сумма ряда равна arctg x.

Пример 7. Разложить функцию:  в ряд Маклорена.

Решение. Найдём производные:

,   , …, ,

откуда, полагая , получаем:

,  ,  ,  ,  , …

Составим по формуле (3.23) ряд Маклорена:

                          (3.28)

Найдём радиус сходимости степенного ряда (3.28):

,

т.е. ряд (3.28) сходится абсолютно при любом . Исследуем остаточный член:

,

где , . Так как , то . А так как  (см. пример 3), то  при любом . Следовательно,

,

т.е. получили ряд, сходящийся к функции  при любом .

Аналогично можно получить разложение функции  в ряд Маклорена, справедливое при любом . Однако ещё проще разложение  получается почленным дифференцированием ряда для :

откуда

Аналогично можно получить разложения в степенные ряды многих других функций. Выпишем ряды Маклорена для некоторых элементарных функций, которые чаще всего используются в приближённых вычислениях:

  ,                  (3.29)

chx   ,     (3.30)

shx   , (3.31)

 , (3.32)

 , (3.33)

 ,   (3.34)

arctgx ,  (3.35)

, (3.36)

  ,                 (3.37)

 .  (3.38)