Функциональные ряды (Понятие функционального ряда. Степенные ряды и их свойства. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Ряды Фурье), страница 4

Для каждого случая в скобках указана область, в которой степенной ряд сходится к соответствующей функции. Последний ряд, называемый биноминальным, на концах интервала сходимости ведёт себя по-разному в зависимости от : при  абсолютно сходится в точках ; при  расходится в точке  и условно сходится в точке ; при  расходится в точках .

3.5. Применение степенных рядов

Рассмотрим наиболее важные применения степенных рядов.

Вычисление приближённого значения функции

Для нахождения приближённого значения функции  с заданной точностью  , сначала разлагают функцию  в степенной ряд и полагают в нём . Затем устанавливают, сколько первых членов полученного числового ряда надо взять, чтобы их сумма была приближённым значением  с заданной точностью , т.е. . В результате, получают: .

Пример 1. Вычислить с точностью до 0,001 значение .

Решение. В ряде Маклорена (3.32) для  положим , это можно сделать, так как равенство (3.32) справедливо для любого , в результате получим:

Необходимо найти , при котором , и ошибка была бы не больше, чем требуемая в задаче точность .

Ряд

является  знакочередующимся, поэтому по следствию из признака Лейбница

.

Так как

, , ,

т.е. уже третий член ряда меньше , то  , и с точностью до 0,001

.

Пример 2. Вычислить  с точностью .

Решение. Известно, что степенной ряд (3.34) при  сходится условно. Для того чтобы вычислить  с помощью ряда (3.34) с точностью , необходимо взять не менее 10 000 его членов. Поэтому воспользуемся рядом, который получается в результате вычитания степенных рядов функций  и :

.

При  полученный ряд сходится абсолютно. Поскольку  при , то, подставив это значение  в ряд, получим:

.

Для вычисления  с заданной точностью необходимо найти такое число  членов частичной суммы , при котором сумма остатка . В нашем случае

.                                    (3.39)

Поскольку числа , , … больше, чем , то, заменив их на , мы увеличим каждую дробь в формуле (3.39). Поэтому

.

В скобках получили сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , которая равна , поэтому  .

Путём подбора значений  находим, что для  , при этом

.

Вычисление интегралов

Так как степенные ряды можно почленно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри их интервала сходимости, то с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд можно находить приближённое значение определённого интеграла.

Пример 3. Вычислить приближённо с точностью до 0,001 определённый интеграл: .

Решение. Первообразная функции  не выражается через элементарные функции, поэтому применим ряд (3.32), в который вместо  подставим :

,

который сходится к функции  при любом . Тогда

,

т.е.

,

так как уже третий член полученного знакочередующегося ряда меньше .

Приближённое решение дифференциальных уравнений

В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение не удаётся, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например, ряда Тейлора или Маклорена.

При решении задачи Коши

, ,                                           (3.40)

используется ряд Тейлора:

,                                      (3.41)

где , , а остальные производные   находятся путём последовательного дифференцирования уравнения (3.40) и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.

Пример 4. Дано дифференциальное уравнение: . Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию , в виде ряда Тейлора (взяв первые 5 его членов).

Решение. Пусть решением исходного дифференциального уравнения является функция:

          (3.42)

Начальное условие  даёт первый член этого ряда. Подставив  и  в данное уравнение , получим: . Продифференцируем исходное уравнение по переменной х:

,   ,

,   ,

,

и т.д. Подставим найденные значения в ряд (3.42)

3.6. Ряды Фурье

Определение. Функциональный ряд вида:

                                           (3.43)

называется тригонометрическим рядом, а числа:  – коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (3.43) сходится, то его сумма есть периодическая функция f(x) с периодом, так как  и  являются периодическими функциями с периодом . Таким образом,

.

Кроме того, функции  и  образуют систему функций ортогональную на отрезке  в следующем смысле: интеграл по отрезку  от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а интеграл по отрезку  от квадрата любой функции этой системы отличен от нуля.

Действительно,

 при .                          (3.44)

Аналогично находим:

 при ;  ;                   (3.45)

;                (3.46)

(3.47)

;

;   ;

.                                           (3.48)

Тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодических функций, описывающих различные периодические процессы (колебательные и вращательные движения различных деталей машин и приборов, периодическое движение небесных тел и элементарных частиц, акустические и электромагнитные колебания и др.).

Теорема 3.6. Если функция f(x), определенная и интегрируемая на отрезке , разлагается в тригонометрический ряд:

,                            (3.49)

который можно интегрировать почленно, то это разложение единственно.

Доказательство. Интегрируя (3.49) и учитывая формулы (3.48), получаем:

,

откуда находим:

.                                               (3.50)

Для определения коэффициента  при   умножим равенство (3.49) на  и проинтегрируем по  от  до  (ряд можно интегрировать почленно после умножения его на ограниченную функцию). Тогда на основании формул (3.44) – (3.48) получаем:

,

откуда