Решение задач по дифференциальным уравнениям и рядам

4. РЕШЕНИе ЗАДАЧ

4.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
с разделяющимися переменными

Пример 1. Hайти общее решение уравнения  y¢cosx – (y + 1)sinx = 0.

Решение. Разделим переменные. Для этого умножим обе части уравнения на множитель , заменив y¢ на  Уравнение примет вид:  

Проинтегрируем почленно это уравнение, получим:

  ,

получили общий интеграл уравнения.

Пример 2. Найти частное решение уравнения:  если y = 3 при x = 1.

Решение. Перепишем уравнение в виде:  2ydy = (1 – 3x²)dx,  заменив y¢ на

Интегрируя обе части уравнения, получим:

– общий интеграл уравнения. Подставим начальные условия y = 3 при x = 1, получим:
9 = 1 – 1 + c, отсюда следует, что c = 9. Искомое частное решение имеет вид:

y² = x – x³ + 9   или   x³ + y² – x – 9 = 0.

4.2. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка

Пример. Проинтегрировать уравнение:   2x²dy = (x² + y²) dx .

Решение. Разделив обе части уравнения на x²dx, получим уравнение, правая часть которого есть функция отношения :

   или      

Положим в нем , тогда y = ux, дифференцируем  получим уравнение с разделяющимися переменными:

      .

После разделения переменных получим уравнение с разделенными переменными:

.

Интегрируем     подставим   , получим:

Замечание. При разделении переменных мы делили на x и на (u – 1)², что возможно лишь при x ¹ 0 и u ¹ 1. Непосредственной проверкой легко убедиться, что x = 0 и u = 1 т. е. y = x , являются также решениями данного уравнения, но они не входят в общий интеграл. Такие решения называются особыми.

4.3. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка

Пример 1. Найти общее решение уравнения:   .

Решение. Поделим обе части данного уравнения на (1 + x²), получим:

– линейное уравнение. Решим его, применяя метод подстановки y = u×v, тогда  Подставим значения y и y¢ в данное уравнение:

,

сгруппируем члены:

.                                         (4.1)

Выберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

.

Тогда уравнение (4.1) запишем в виде системы уравнений:

.                                                    (4.2)

Найдем функцию v из первого уравнения системы:

,

разделим переменные:

.

Интегрируя, получаем:  ,  пусть   с₁ = 1,   v = 1 + x².

Подставим значение функции v во второе уравнение системы (4.2):

   ,   ,   откуда   u = x + с.

Найденные функции u и v подставим в равенство y = u×v, получим:

y = (1 + x²)(x + с)

– общее решение данного уравнения.

Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению.

Пример 2. Найти кривую, проходящую через точку M₀(1, 4) и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4.1). Пусть M(x, y) – произвольная точка искомой кривой, AB – отрезок касательной к кривой в данной точке, заключенный между координатными осями. По условию задачи BM = MA. Если OP – абсцисса точки M, то DAMP ~ DABO  и

.

Но      , PA = OP,      поэтому      ,      т.е. OA = 2x, OB = 2y.

Угловой коэффициент касательной к кривой y = ¦(x) в точке M(x, y) выражается с помощью производной:

,   где   a = ÐBAК.

С другой стороны, так как

  и  ,

то

.

Следовательно,  – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные  ,  интегрируем:

   ,   .

Так как кривая должна проходить через точку M₀(1, 4), то подставляя ее координаты в данное уравнение, находим: 1×4 = с, с = 4. Таким образом, искомая кривая определяется уравнением .

Пример 3. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/с, через 4 с скорость ее 1 м/с. Найти скорость движения лодки через 12 с после начала движения.

Решение. Согласно второму закону динамики дифференциальное уравнение движения имеет вид:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим:

интегрируем:

,      

Подставляя начальные условия: ,  находим:

;          с = 1,5.

Следовательно, . Значение k/m определим, подставляя второе начальное условие: t = 4,   v = 1,   . Отсюда следует:  Итак, получили частное решение данного уравнения:

.

Подставим в это равенство t = 12, окончательно получим:

.

4.4. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка

Пример 1. Проинтегрировать уравнение: .

Решение. Интегрируем это уравнение последовательно два раза:

Пример 2. Найти общее решение уравнения:  

Решение. Это уравнение не содержит явно искомой функции y. Положив в уравнении y¢= z,  y² = z¢, получим линейное уравнение первого порядка относительно z(x):  .  Заменив z = uv,  z¢ = u¢v + uv¢, получим:

u¢v + uv¢ + uvtgx = sin2x, u¢v + u (v¢ + vtgx) = sin2x.

Это уравнение заменим системой уравнений:

.

Решаем первое уравнение системы:

интегрируем:  ,  с₀ = 0,  откуда  или  Подставим найденное значение v во второе уравнение системы:  . Разделим переменные  интегрируем: , следовательно,   Возвращаясь к первоначальной переменной y, получим:

.

Разделим переменные  ,  интегрируем:

получим общее решение данного уравнения:

Пример 3. Найти общее решение уравнения: 

Решение. Это дифференциальное уравнение не содержит в явном виде независимую переменную x. Положим y¢ = p,  y² = p(dp/dy), подставим в данное уравнение:

Разделим переменные     или   ,  интегрируем:

   ,   .

А так как p = y¢, то получим y¢ = c₁(3 + y) – уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим их:   интегрируем:

   ,   ,   .

Получили общее решение данного уравнения.

4.5. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка
с постоянными коэффициентами

Для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения используется метод неопределенных коэффициентов. Частное решение линейного неоднородного уравнения для правых частей специального вида может быть найдено по виду правой части. Запишем в таблицу наиболее часто встречающиеся случаи (табл. 4.1).

Пример 1. Найти частное решение уравнения  , удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1,  y¢(0) = 0.

Решение. Запишем соответствующее однородное уравнение: , характеристическое уравнение имеет вид: , его корни  k₂ = 2.

Общее решение однородного уравнения:

.