Математика \ Высшая математика

Решение задач по дифференциальным уравнениям и рядам, страница 2

Определим вид частного решения неоднородного уравнения. Правая часть . Частное решение: y_ч.н=, так как k= 2 – корень кратности s = 2 характеристического уравнения. Найдем производные от этой функции:

, .

Подставим значения y, y¢ и y² в данное уравнение, получим:

или , откуда .

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:

Общее решение определяется формулой:

Найдем С₁ и С₂, используя начальные условия:

, y(0) = C₁ = 1, ,

получаем частное решение неоднородного уравнения:

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Корни характеристического уравнения: будут мнимые . Общее решение однородного уравнения будет:

Определим частное решение неоднородного уравнения :

, ,

так как число является корнем характеристического уравнения, здесь s = 1, то частное решение имеет вид y_ч.н.= . Найдем y¢, y²:

Из тождества, которое получается после подстановки y, y¢, y² в исходное уравнение, получим:

Приравниваем коэффициенты при cosx и sinx, получим: A = 0, B = 2, следовательно, y_ч.н=. Тогда общее решение уравнения будет:

y_о.н_. = y_о.o. + y_ч.н. = .

4.6. Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами

Пример 1. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

. (4.3)

Требуется:

1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения;

2) записать в матричной форме данную систему и ее решение.

Решение

a) Запишем характеристическое уравнение системы (4.3)

б) Найдем корни характеристического уравнения k₁ и k_2.

в) Запишем систему уравнений:

подставим в эту систему значения k₁ и k₂ и определим числа

являющиеся решением этой системы.

г) Получим частные решения системы:

д) Зная частные решения, составим решение данной системы (4.3):

Запишем матрицу системы линейных уравнений:

матрицу из неизвестных:

Тогда данную систему можно записать в матричной форме:

а, следовательно, общее решение системы имеет вид

Пример 2. Найти общее решение системы:

Решение

1) Характеристическое уравнение системы имеет вид:

Находим числа a и b, составляем систему:

подставим k₁ = 2, получим:

откуда

Возьмем , тогда . Подставим k₂= 4, получим:

тогда

Частные решения системы имеют вид:

Отсюда получим общее решение системы:

2) Запишем данную систему в матричной форме:

– матрица системы, – матрица из неизвестных функций.

Тогда данную систему запишем в виде:

и ее решение в матричной форме имеет вид: = .

4.7. Признаки сходимости рядов
с положительными членами

Пример 1. Исследовать ряд: на сходимость.

Решение. , .

По необходимому признаку заключаем, что данный ряд расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд:

Решение. Применим к этому ряду признак Даламбера:

Так как d = 0 < 1, то ряд сходится по признаку Даламбера.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд:

Решение. Применим к ряду признак Коши:

Так как k = < 1, то ряд сходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряды:

а) , б) , в) .

Решение

а) Сравним члены ряда с членами ряда , который сходится: для всех n. Поэтому данный ряд сходится.

б) Сравним члены ряда с членами гармонического ряда: . Так как гармонический ряд расходится, то данный ряд расходится по признаку сравнения.

в) Сравним ряд с гармоническим рядом и применим предельный признак сравнения:

Следовательно, данный ряд расходится, так как гармонический ряд расходится.

4.8. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

Пример 1. Исследовать на сходимость ряды:

а) , б) .

Решение

а) Применим признак Лейбница:

и .

По признаку Лейбница ряд сходится, причем условно, так как ряд расходится.

б) При a ¹ pk, k Î Z, данный ряд является знакопеременным, но не обязательно знакочередующимся. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

исследуем ряд на сходимость. Сравним его с рядом:

Ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с . Кроме того, . По сравнительному признаку ряд сходится, а поэтому сходится данный ряд, причем абсолютно.

Пример 2. Исследовать на сходимость следующие ряды:

а) , б) , в) .

Решение

а) Так как , то данный ряд расходится по необходимому признаку сходимости рядов.

б) Для ряда выполняются условия теоремы Лейбница (проверьте!), значит, этот ряд сходится. Чтобы выяснить, сходится ряд абсолютно или условно, надо исследовать на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин, т.е. ряд . Но это гармонический ряд, мы знаем, что он расходящийся. Значит, данный ряд сходится условно.

в) Так как ряд сходится (докажите!), то ряд тоже сходится, причем абсолютно.

Пример 3. Найти сумму ряда: приближенно с точностью до 0,001.

Решение. Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, поэтому сходится и , т.е. . Выясним, при каком n выполняется условие . Так как , то . Возьмем S » S₃,