Дифференциальные уравнения. Основные определения. Разделяющиеся переменные. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, страница 6

Характеристическое уравнение корни  

Находим частное решение неоднородного уравнения: при этом   

Дальнейшее решение ведём по той же схеме:

 т.е.

, откуда  ;

       

Общее решение линейного неоднородного уравнения

III. где - действительные числа.

Обозначим корни характеристического уравнения через . При записи вида частного решения линейного неоднородного уравнения проводится сравнение с корнями характеристического уравнения комплексного числа где

                                                                 не корень характеристического уравнения, корень характеристического уравнения.

Коэффициенты находятся из системы, получаемой после подстановки частного решения в уравнение приравниванием коэффициентов при  слева и справа.

Заметим, что вид частного решения сохранится и в том случае, если одно из чисел  будет равно нулю.

Пример 13. Найти общее решение уравнения

Решение: Решим соответствующее однородное уравнение:

 

Найдём частное решение неоднородного уравнения:

 

Так как число  = не корень характеристического уравнения, то запишем частное решение в виде:

Дальнейшее решение проведём по схеме:

Коэффициенты при : =3

Коэффициенты при : =0

Откуда:

Частное решение уравнения: .

IV. Общий случай: - действительные числа, - многочлены степеней .

Обозначим наибольшее из чисел  через .

Частное решение однородного уравнения определяется так:

1)  если число  не является корнем характеристического уравнения.

2)  если число  является корнем характеристического уравнения.

Здесь - многочлены степени  с неопределёнными коэффициентами, которые определяются теми же приёмами, что изложено ранее.

V. , где функции  соответствуют выше разобранным случаям. Частное решение уравнения следует находить с учётом теоремы 5.

Пример 14. Решить уравнение

Решение:

1) Находим общее решение соответствующего однородного уравнения: ,

Характеристическое уравнение:

Корни уравнения

2) Находим частное решение неоднородного уравнения. Так как т.е. сумма двух функций то

где - частное решение уравнения

- частное решение уравнения

а) Рассмотрим уравнение

 корни характеристического уравнения найдены ранее:  т.к. λ не является корнем характеристического уравнения, тогда

б) Рассмотрим уравнение

- не является корнем характеристического уравнения.

Следовательно,

3) Находим общее решение неоднородного уравнения:

4) Находим частное решение неоднородного уравнения в соответствии с начальными условиями. Запишем общее решение:

Найдём

Подставим в  начальные условия:  получим систему:

        

Частное решение:

Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения:

1.                               Ответ: 

2.                    Ответ: 

3.                                   Ответ: 

4.                            Ответ: 

5.                                       Ответ: 

6.                              Ответ: 

7.                           Ответ: 

8.                         Ответ: 

Найти частное решение, удовлетворяющее данным условиям:

1.                 Ответ: 

2.             Ответ: 

3.            Ответ: 

4.                Ответ: 

5.             Ответ: 

6.                  Ответ: 

7.           Ответ: 

8.                Ответ: 

9.                        Ответ: 

10.      

Ответ: 

11. 

Ответ: 

12.                    Ответ:    

13.                      Ответ:   

14.    

Ответ: 

15.        Ответ:  .