Дифференциальные уравнения. Основные определения. Разделяющиеся переменные. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, страница 3

, здесь С = 0, т.е. рассматривается частное решение. Откуда: 

Подставим в уравнение (2) и найдём его общее решение:

Общее решение линейного уравнения:

Примеры для самостоятельного решения

I. Решить уравнения с разделяющимися переменными

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

 Ответы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

II. Решить однородные уравнения

6.                               9.  

7.                           10.  

8.

Ответы:

6.                                  9.

7.                                         10.

8.

III. Решить линейные уравнения

11.                                          14.

12.                                  15.

13.

Ответы:

11.                                        14.

12.                                15.

13.

IV. Решить диф. уравнения 1-го порядка

16.                                       19.

17.                              20.

18.                            21.

           22.

Ответы:

16.                                 20.

17.                             21.

18.                             22.

19.

1.6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Общий вид записи диф. уравнения 2-го порядка:  или . Общее решение (общий интеграл) будет содержать две произвольные постоянные: . Начальные условия Коши для выделения частного решения из общего запишутся в виде:

где α и β – действительные числа. Если в уравнении 2-го порядка не содержатся явно х или у, то уравнение называется неполным. Неполные уравнения решаются методом понижения порядка уравнения. Рассмотрим 2 случая:

I.В диф. уравнении нет явно у.

Уравнение имеет вид: . Вводим новую функцию: тогда .

Подставляя в уравнение, получим  - диф. уравнение 1-го порядка относительно функции z. Решив уравнение, получим - первый интеграл уравнения. Интегрируя  - получим общее решение диф. уравнения 2-го порядка.

Пример 5. Проинтегрировать уравнение

Решение: Это – диф. уравнение 2-го порядка, неполное, т.к. в уравнении нет у. Положим: , подставляем в уравнение:  или . Это – однородное уравнение 1-го порядка, решаем его:  где .

Интегрируем: . Принимаем       для дальнейших преобразований. .

- первый интеграл уравнения.

Откуда - это общее решение уравнения, интегрирование проводилось методом «по частям».

II. В диф. уравнении 2-го порядка нет явно х. Уравнение имеет вид: . Вводим новую функцию тогда  Подставляем в уравнение: - уравнение 1-го порядка. Решив его, найдём - первый интеграл уравнения, это уравнение с разделяющимися переменными. Так как то .

- общий интеграл уравнения.

Пример 6. Проинтегрировать уравнение

Решение: Найдём общее решение уравнения. Так как в уравнении нет х, то положим тогда  Подставляем в уравнение:  так как , получаем:   или 

т.е.  - первый интеграл уравнения.

, т.е. .

После преобразований:  - общее решение уравнения. Так как к уравнению заданы начальные условия, то выделим из общего решения частное, для этого используем общее решение уравнения и первый интеграл. Подставляя в них начальные условия:  получим:

, откуда . 

Частное решение уравнения: .

Примеры для самостоятельного решения

Найти общее решение уравнений 2-го порядка.

1.                                                           5.

2.                                                     6.

3.                                                         7.

4.

Ответы:

1.                                                5.

2.                                         6.

3.                                         7.

4.