Дифференциальные уравнения. Основные определения. Разделяющиеся переменные. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, страница 4

2 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

2.1 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФ. УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

Диф. уравнение вида:  называется линейным однородным диф. уравнением 2-го порядка. Здесь  - коэффициенты уравнения, непрерывные функции.

Заметим, однородное линейное уравнение всегда имеет решение , это решение называется тривиальным, в дальнейшем оно рассматриваться не будет.

Определение: Два решения уравнения  называются линейно-независимыми, если . Если , то они называются линейно-зависимыми (в этом случае одно решение получается из другого умножением на постоянную величину).

Теорема 1: (Структура общего решения линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка).

Если известны два линейно-независимых решения уравнения , , то общее решение уравнения определяется по формуле: где - произвольные постоянные.

Определение: Два линейно-независимых решения линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка составляют фундаментальную систему решений.

Таким образом, если каким-либо методом найти фундаментальную систему решений линейного однородного диф. уравнения, то по теореме 1 можно найти общее решение этого уравнения.

Теорема 2. Если  есть решение линейного однородного уравнения, то второе линейно-независимое решение можно найти по формуле: .

Пример 7. Рассмотрим уравнение

Решение: Можно убедиться подстановкой в уравнение, что  есть решение уравнения. Тогда:

По теореме 1 общее решение уравнения:

2.2 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим уравнение , где - числа. Согласно теореме о структуре решения необходимо найти фундаментальную систему решений. Будем искать решение уравнения в виде - неизвестное число, подставляя в уравнение .

Так как , то для нахождения k получаем уравнение: Это уравнение называется характеристическим. Корни этого квадратного уравнения: .

В зависимости от величины дискриминанта возможны 3 случая:

1. Д >0, тогда  

В этом случае можно сразу записать фундаментальную систему решений линейного однородного диф. уравнения: . И по теореме 1 найти общее решение уравнения: .

2. Д = 0, тогда .

В этом случае можно найти одно решение диф. уравнения: . Второе решение можно найти по теореме 2: . Общее решение линейного однородного диф. уравнения запишется в виде: .

3. Д < 0, корни характеристического уравнения комплексно-сопряжённые:

, где

Фундаментальная система решений линейного однородного диф. уравнения в этом случае имеет вид: а общее решение уравнения:  

Пример 8. Решить уравнение

Решение: Запишем характеристическое уравнение . Его корни  т.е. . Общее решение уравнения:

Пример 9. Решить уравнение

Решение: Характеристическое уравнение его корни  Общее решение уравнения:

Пример 10. Решить уравнение

Решение: Характеристическое уравнение  его корни

Общее решение уравнения

2.3 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

Рассмотрим уравнение:

где - правая часть уравнения,

 - непрерывные функции.

Уравнение

 

называется соответствующим однородным уравнением.

Теорема 3. (Структура общего решения линейного неоднородного диф. уравнения).

Общее решение линейного неоднородного диф. уравнения состоит из суммы двух решений: общего решения соответствующего однородного линейного диф. уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения: , где - общее решение соответствующего однородного диф. уравнения, - частное решение неоднородного уравнения.

Так как вопрос нахождения рассмотрен ранее, то необходимо выяснить, как находить частное решение неоднородного линейного диф. уравнения.