Математика \ Высшая математика

Дифференциальные уравнения. Основные определения. Разделяющиеся переменные. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, страница 5

Теорема 4. (Нахождение частного решения линейного неоднородного диф. уравнения методом вариации произвольных постоянных).

Если дано уравнение

и известно общее решение соответствующего однородного уравнения

то частное решение неоднородного уравнения можно искать в виде:

где функции находятся интегрированием решений системы: .

Пример 11. Найти общее решение уравнения

Решение: Запишем соответствующее однородное уравнение: и решим его.

Характеристическое уравнение , корни , фундаментальная система решений , общее решение

Частное решение неоднородного уравнения находим в виде:

На основе теоремы 4 запишем систему для нахождения функций :

или .

Решая систему, найдём тогда

Частное решение линейного неоднородного уравнения:

По теореме 3 запишем общее решение линейного неоднородного диф. уравнения:

Таким образом, для решения линейного неоднородного диф. уравнения необходимо вначале решить соответствующее однородное диф. уравнение, затем найти частное решение неоднородного уравнения и по теореме 3 найти общее решение неоднородного линейного диф. уравнения. При этом, если правая часть неоднородного уравнения имеет сложный вид и равна сумме функций, то для нахождения частного решения можно воспользоваться теоремой 5.

Теорема 5. Частное решение уравнения

имеет вид:

где - частное решение уравнения

- частное решение уравнения

2.4 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим уравнение

, где - действительные числа.

Общий метод нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения рассмотрен в п. 2.3. Однако, в уравнении с постоянными коэффициентами иногда его можно найти более просто, не прибегая к интегрированию. Этот метод нахождения частного решения называется методом неопределённых коэффициентов и применяется в зависимости от вида функции . Рассмотрим несколько случаев:

Правая часть уравнения – многочлен -ой степени, при этом часть коэффициентов уравнения может быть равной нулю. Обозначим корни характеристического уравнения через . Частное решение уравнения в этом случае нужно искать в виде:

Здесь - полный многочлен -ой степени с неопределёнными коэффициентами:

Для определения коэффициентов частное решение подставляется в уравнение и составляется система путём приравнивания коэффициентов справа и слева при одинаковых степенях

Пример 12. Найти общее решение уравнения

Решение: Исходя из теоремы 3 решим вначале соответствующее однородное уравнение: Характеристическое уравнение его корни общее решение однородного уравнения:

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения применим метод неопределённых коэффициентов.

Так как , то форма частного решения:

Дальнейшее решение лучше вести по такой схеме. Слева за чертой записываются коэффициенты уравнения при Умножая на них равенства складывают с одновременным приведением подобных членов, результат приравнивают к правой части уравнения.