Дифференциальные уравнения. Основные определения. Разделяющиеся переменные. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, страница 2

Представим , тогда уравнение запишется: .

Умножим на dx : .

Исключив из рассмотрения точки, где f₂ (y) = 0, разделим на f₂ (y) :

.

Это уравнение называется уравнением с разделёнными переменными.

Интегрируя равенство, получим:

, где С – произвольная постоянная.

Это – общий интеграл уравнения, входящие в него неопределённые интегралы находятся методами, рассматриваемыми в интегральном исчислении. Если диф. уравнение записано в виде:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, то это уравнение с разделяющимися переменными, если

P(x,y) = P₁(x)*P₂(y) ; Q(x,y) = Q₁(x)*Q₂(y)

Интегрирование уравнения проводится так:

P₁(x)*P₂(y) +  Q₁(x)*Q₂(y) = 0

Считая , , разделим на :

 ;

Интегрируя:

 

- общий интеграл уравнения.

Заметим, при разделении переменных могут быть «потерянные» решения, которые в некоторых случаях будут особыми решениями.

Пример 1. Проинтегрировать уравнение: .

Решение: Так как уравнение можно записать в виде:

, то это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

 ;  ; ;

 - общий интеграл уравнения. При необходимости можно найти общее решение уравнения: .

Пример 2. Решить задачу Коши: .

Решение: Это – уравнение с разделяющимися переменными. Найдём сначала общее решение уравнения, а затем выделим частное по начальному условию. Разделим уравнение на :

 ;

Интегрируя: , получаем    .

При решении диф. уравнений произвольную постоянную лучше записывать после вычисления интегралов в форме, удобной для дальнейших преобразований. Потенцируя:

 или  - общее решение уравнения.

Найдём С, используя начальное условие: y=2 при х=0, тогда С=2.

Частное решение уравнения: .

1.4 ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Если в диф. уравнении  функциюможно преобразовать к виду , то диф. уравнение называется однородным уравнением относительно х и у (или просто однородным). Однородное уравнение решается подстановкой

, где z=z(x) – новая функция, приводится к диф. уравнению с разделяющимися переменными.

Алгоритм решения:

; ; y=zx ; . Подставляя в уравнение: ;  ;

.

Это – уравнение с разделяющимися переменными:

; ; .  После интегрирования, заменив , получаем общий интеграл уравнения.

Если уравнение записано в виде P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, то оно будет однородным, если функции P(x,y) и Q(x,y) однородные функции одного измерения, т.е.    P(tx,ty)=tⁿ*P(x,y);

             Q(tx,ty)=tⁿ*Q(x,y).

Где n=1; 2; 3;……

Пример 3. Проинтегрировать уравнение .

Решение: Запишем уравнение в виде:  или . Это однородное уравнение относительно х и у. Замена: . Подставляем в уравнение:

;    ;

.

Заменяем:    :   

 - общий интеграл уравнения.

1.5 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Диф. уравнение вида:

, где - непрерывные функции, называется линейным однородным, если , то линейным неоднородным.

Линейное однородное уравнение  решается как уравнение с разделяющимися переменными. В линейном неоднородном уравнении переменные не разделяются.

Заменой - новые функции, оно приводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.

Алгоритм решения:  ;   ;   Подставляем в уравнение:

Для нахождения функций U и  V запишем систему:

 

Решив уравнение (1) (это уравнение с разделяющимися переменными), за функцию V берётся не общее решение, а любое частное, не равное 0. Подставляя затем его в уравнение (2), находим общее решение этого уравнения: y=φ (x,c). Общее решение линейного неоднородного уравнения запишется в виде: .

Пример 4. Проинтегрировать уравнение: .

Решение: Это – линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Заменим  ;   Подставляем в уравнение:

Запишем систему: .

Решаем уравнение (1):