Числовые и степенные ряды. Определение ряда и его суммы. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости. Геометрический ряд и гармонический ряд

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Хабаровский институт инфокоммуникаций (филиал)

Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики

Методическая разработка

по теме «Числовые и степенные ряды»

Хабаровск 2006

В методической разработке по теме «Числовые и степенные ряды» изложены основные процессы теории числовых и степенных рядов. Даны определения, формулировки теорем. Некоторые теоремы приведены с доказательством. Изложение сопровождается подробно разработанными примерами. В конце каждой главы даны упражнения.

Методическая разработка в помощь студентам – заочникам Хабаровского института инфокоммуникаций при изучении данной темы.

Составители: доктор ф – м. н., профессор ,

Ст. преподаватель .

1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1.1 Определение ряда и его суммы. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости. Геометрический ряд и гармонический ряд

Пусть задана последовательность чисел Для любого конечного набора чисел  можно подсчитать следующую сумму . Если же взять всю последовательность и составить бесконечную сумму слагаемых, то есть , то получим новый объект, так как не умеем находить сумму бесконечного числа слагаемых.

Определение 1. Выражение вида , где  - заданные числа, называется числовым рядом.

Числа  называются членами ряда;  - n^й член ряда называется общим членом ряда.

Очевидно, что для задания ряда нужно знать формулу общего члена ряда или по указанному закону составить формулу общего члена ряда.

Определение 2. Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной (частной) суммой ряда и обозначается через S_n, то есть .

Определение 3. Предел n-ой частной суммы ряда, если он существует и конечен, называется суммой ряда, то есть . В этом случае числовой ряд называется сходящимся. Если  или не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 1. Найти сумму ряда.

Заметим, что имеет место расположение

, тогда S_n перепишется в виде

, отсюда  и , то есть ряд сходится и его сумма равна 1.

Определение 4. Ряд вида  называется геометрическим рядом.

Теорема 1. Геометрический ряд сходится при  и его сумма S равна  и расходится при .

Доказательство. Приведем его толь для . Нетрудно видеть, что n-ая частичная сумма имеет вид

                                                                                 (1)

Умножая на q равенство (1), получаем

                                                                          (2)

Из равенства (1) вычитаем (2), получаем , отсюда

                                                                                             (3)

Известно, что при ,  поэтому, . Тогда отсюда и из (3) вытекает равенство .

Для сходящихся числовых рядов имеют место следующие свойства:

Свойство 1. Отбрасывание любого конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.

Свойство 2. Если члены сходящегося ряда , имеющего сумму S, умножить на число λ, то полученный ряд  будет также сходящимся, а число S - его суммой.

Свойство 3. Если ряды  и  сходятся, то сходится и ряд , причем его сумма равна алгебраической сумме исходных рядов.

Теорема 2. (Необходимый признак сходимости). Если ряд  сходится, то общий член данного ряда стремится к нулю при , то есть .

Доказательство. Согласно определению 2 n-ая и (n - 1)-ая частичные суммы данного ряда имеют вид , . Так как ряд сходится, то , . Очевидно, что , поэтому .

Следствие 1. Если , то ряд (1) расходится.

Например, рассмотрим ряд . Здесь  и , значит ряд расходится.

Определение. Ряд вида  называется гармоническим рядом.

Теорема 3. Гармонический ряд расходится. Доказательство данного факта приведем позже. У гармонического ряда  и , а ряд тем не менее, расходится.

1.2 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости, признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак

Определение 1. Ряд , члены которого неотрицательные числа, называется знакоположительным рядом.

Сформулируем ряд признаков, при помощи которых можно исследовать знакоположительные ряды на сходимость.

Напомним следующие факты:

Определение 2. Последовательность  называется неубывающей, если для всех n выполнено неравенство .

Определение 3. Последовательность  называется ограниченной, если существует число М>0, не зависящее от n, такое, что .

Теорема А. Любая неубывающая, ограниченная последовательность имеет конечный предел.