Методическая разработка по теории функций комплексных переменных.
Составитель: доцент
Комплексные числа и алгебраические действия над ними
1.1 Комплексные числа.
Определение 1. Комплексными числами
называются числа вида ,
где x и y – действительные числа, а
-
мнимая единица. Числа x и y называются соответственно
действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются
Рассмотрим комплексное число
и
будем трактовать x и y как
координаты
точки на плоскости. Тогда каждому комплексному
числу будет
соответствовать точка (x, y) на плоскости. И обратно всякой точке
(x, y) плоскости будет соответствовать определенное комплексное
число .
Кроме того, каждой точке
можно
поставить в соответствие ее радиус – вектор. Плоскость XOY называется плоскостью комплексных
чисел или плоскостью z.
Действительные числа z=x изображаются точками на оси OX. Ось OX называется действительной осью.
Чисто мнимые числа z=yj изображаются точками на оси OY. Ось OY называется мнимой осью. Число называется
бесконечно удаленной точкой. Множество, состоящее из всех конечных точек и
точки
,
будем называть расширенной плоскостью z.
Определение 2. Два комплексных числа и
называются
взаимно сопряженными.
Определение 3. Модулем комплексного числа называется
длина вектора z.
Обозначим .
Из чертежа видно, что
.
Определение 4. Угол ,
образованный вектором z с положительным направлением
оси OX называется аргументом
комплексного числа z.
Очевидно, что аргумент z имеет бесконечное число значений.
Из чертежа следует, что
.
При z=0 функция Arg z не
определена. Из множества значений Arg z выделим так называемое главное значение аргумента,
которое лежит в интервале
и
обозначается arg z. Таки образом,
.
Главные значения аргумента
для различных точек z определяется из соотношений для точек Z из I и IY квадрантов;
для точек Z из II квадранта;
для точек Z из III квадранта.
Очевидно, что .
Выражение вида
мы
будем называть алгебраической формой комплексного числа. Можно записать
комплексное число z и в других формах. Так
из чертежа следует, что
.
Тогда
.
Мы получили тригонометрическую форму комплексного числа. По формуле Эйлера
.
Тогда
.
Это показательная форма комплексного числа.
Пример. Представить в
тригонометрической и показательной формах комплексные числа
Решение. Для Тогда
;
-
действительное число, точка
лежит
на оси OX, поэтому
.
Таким образом,
.
Число является
чисто мнимым, и точка
лежит
на оси OY. Для всех чисто мнимых чисел
с отрицательной мнимой частью
.
Итак,
.
Для числа .
Точка
лежит
в III четверти,
,
поэтому
.
Таким образом
.
1.2 Действия над комплексными числами.
Два комплексных числа и
равны
друг другу, если равны их вещественные и мнимые части
.
Суммой двух комплексных чисел
и
называется
комплексное число
.
Из определения вытекают законы сложения а) переместительный:
;
б) сочетательный: .
Аналогично определяется разность комплексных чисел:
.
Если воспользоваться правилами
сложения и вычитания векторов, то можно найти
точки на комплексной плоскости, соответствующие сумме комплексных чисел и
их разности
.
Произведение комплексных
чисел
и
определяется
равенством
.
Здесь использован тот факт, что
.
Имеют место законы умножения:
а) переместительный ;
б) сочетательный ;
в) распределительный ;
Пусть числа и
заданы
в показательной форме
,
.
Тогда .
Таким образом, модуль произведения комплексных чисел
и
равен
произведению их модулей
.
Аргумент произведения комплексных чисел
и
равен
сумме их аргументов
.
Отсюда следует, что при умножении
на
вектор
растягивается
(сжимается) в
раз
и поворачивается на угол
против часовой стрелки.
Число называется
частным чисел
и
:
,
если
.
При
частное
всегда
существует. Действительно, умножим равенство
на
получим
.
Отсюда
.
Пример. Найти частное .
Решение:
Пусть и
выражены
в показательной форме
,
.
Тогда
.
Следовательно, модуль частного комплексных чисел равен частному их модулей
.
Аргумент частного комплексных чисел равен разности аргумента числителя и аргумента знаменателя
.
Рассмотрим комплексное число и
запишем его в показательной и тригонометрических формах
.
Возведем Z в степень n, где n – целое число (положительное или
отрицательное). Получим .
В частности, при Z=1 получаем формулу Муавра
.
Пример. Вычислить .
Решение. Пусть Z=.
Найдем
и
arg Z.
.
Тогда ;
Число W
называется корнем натуральной степени n из числа Z ,
если
.
Запишем Z в тригонометрической форме
.
Тогда, так как ,
то получим
.
Отсюда
Следовательно, (1.1)
Уравнение имеет
n различных корней. Все
эти корни можно найти, если формуле (1.1) придать k значения 0, 1, 2, …, n-1.
Пример. Найти .
Решение. .
Тогда .
При k=0
При k=1 .
2. Основные понятия теории функций комплексного переменного
2.1 Области и их границы.
Определение 1. -
окрестностью точки
называется
множество точек z, лежащих внутри круга с
центром точке
радиуса
,
т. е. множество точек z, удовлетворяющих неравенству
.
Определение 2. Пусть нам дано множество E точек комплексной плоскости. Точка называется
внутренней для множества E, если вместе с точкой
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.