Комплексные числа и алгебраические действия над ними. Основные понятия теории функций комплексного переменного. Области и их границы

Методическая разработка по теории функций комплексных переменных.

Составитель: доцент

Комплексные числа и алгебраические действия  над ними

1.1  Комплексные числа.

Определение 1. Комплексными числами называются числа вида , где x и y – действительные числа, а  - мнимая единица. Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются

Рассмотрим комплексное число  и будем трактовать x и y как  

координаты точки на плоскости. Тогда каждому комплексному числу  будет соответствовать точка (x, y) на плоскости. И обратно всякой точке         

(x,  y) плоскости будет соответствовать определенное комплексное число . Кроме  того, каждой точке  можно поставить в  соответствие ее радиус – вектор. Плоскость XOY  называется плоскостью комплексных чисел или  плоскостью z. Действительные числа z=x изображаются точками на оси OX. Ось OX называется действительной осью.

Чисто мнимые числа z=yj изображаются точками на оси OY. Ось OY называется мнимой осью. Число называется бесконечно удаленной точкой. Множество, состоящее из всех конечных точек и точки , будем называть расширенной плоскостью z.

Определение 2. Два комплексных числа  и  называются взаимно сопряженными.

Определение 3. Модулем комплексного числа  называется длина вектора z.

Обозначим . Из чертежа видно, что .

Определение 4. Угол , образованный вектором z с положительным направлением оси OX называется аргументом комплексного числа z.

Очевидно, что аргумент z имеет бесконечное число значений. Из чертежа следует, что . При z=0 функция Arg z не определена. Из множества значений Arg z выделим так называемое главное значение аргумента, которое лежит в интервале  и обозначается arg z. Таки образом, .

Главные значения аргумента для различных точек z определяется из соотношений для точек Z  из I и IY квадрантов;

для точек Z из II квадранта;

для точек Z из III квадранта.

Очевидно, что . Выражение вида  мы будем называть алгебраической формой комплексного числа. Можно записать комплексное число z и в других формах. Так из чертежа следует, что . Тогда . Мы получили тригонометрическую форму комплексного числа. По формуле Эйлера . Тогда . Это показательная форма комплексного числа.

Пример. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексные числа

Решение. Для Тогда ; - действительное число, точка  лежит на оси OX, поэтому . Таким образом, .

Число  является чисто мнимым, и точка  лежит на оси OY. Для всех чисто мнимых чисел с отрицательной мнимой частью . Итак,  

.

Для числа . Точка  лежит в III четверти, , поэтому . Таким образом .

1.2   Действия над комплексными числами.

Два комплексных числа  и  равны друг другу, если равны их вещественные и мнимые части . Суммой двух комплексных чисел  и  называется комплексное число . Из определения вытекают законы сложения а) переместительный: ;

б) сочетательный: .

Аналогично определяется разность комплексных чисел:

.

Если воспользоваться правилами  

сложения и вычитания векторов, то можно найти точки на комплексной плоскости, соответствующие сумме комплексных чисел   и их разности .

Произведение  комплексных чисел  и  определяется равенством . Здесь использован тот факт, что . Имеют место законы умножения:

а) переместительный  ;

б) сочетательный ;

в) распределительный ;

Пусть числа   и  заданы в показательной форме , .

Тогда . Таким образом, модуль произведения комплексных чисел  и  равен произведению их модулей . Аргумент произведения комплексных чисел  и  равен сумме их аргументов .

                                                          Отсюда следует, что при умножении  на

 вектор  растягивается (сжимается) в

 раз и поворачивается на угол  

против часовой стрелки.

Число  называется частным чисел  и  : , если . При  частное  всегда существует. Действительно, умножим равенство  на  получим . Отсюда   

.

Пример. Найти частное .

Решение:

Пусть  и  выражены в показательной форме

,  . Тогда . Следовательно, модуль частного комплексных чисел равен частному их модулей

.

Аргумент частного комплексных чисел равен разности аргумента числителя  и аргумента знаменателя

.

Рассмотрим комплексное число  и запишем его в показательной и тригонометрических формах

.

Возведем Z в степень n, где n – целое число (положительное или отрицательное). Получим . В частности, при Z=1 получаем формулу Муавра

.

Пример. Вычислить .

Решение. Пусть Z=. Найдем  и arg Z.

.

Тогда ;

Число W называется корнем натуральной степени n из числа Z , если . Запишем Z в тригонометрической форме

.

Тогда, так как , то получим

.

Отсюда

Следовательно,                                    (1.1)

Уравнение  имеет n различных корней. Все эти корни можно найти, если формуле (1.1) придать k значения 0, 1, 2, …, n-1.

Пример. Найти .

Решение. .

Тогда .

При k=0     

При k=1     .

2. Основные понятия теории функций комплексного переменного

2.1 Области и их границы.

Определение 1.  - окрестностью точки  называется множество точек z, лежащих внутри круга с центром  точке  радиуса , т. е. множество точек z, удовлетворяющих неравенству .

Определение 2. Пусть нам дано множество E точек комплексной плоскости. Точка  называется внутренней для множества E, если вместе с точкой