Сжатие сигналов МТКС. Преобразования сигналов. Кодеры с Субполосные преобразованием кодеры

Сжатие сигналов МТКС. Преобразования сигналов

Кодеры сигналов

Кодеры с Субполосные преобразованием кодеры

Дискр. пр. Фурье  Дискр. пр. Фурье Дискр. синусное пр.  Дискр. синусное пр.

Дискр. косинусное пр. Дискр. косинусное пр.

Пр. Габора  Пр. Габора

Вейвлет-преобр. Вейвлет-преобр.

Требования к преобразованиям и базисным функциям:

1.  Локализация

2.  Ортогональность

3.  Масштаб

4.  Эффективные вычислительные процедуры

Частотные характеристики фильтров анализа:

H _i =∑ h_i n⋅exp− j⋅⋅n,       i=0,1,2 ,... ,M−1.

n

В результате на выходе  системы анализа получим M последовательностей:

y _im=N^∑l=−01 xl⋅h_ik_i⋅m−l, i=0,1,2 ,... ,M−1;           m=0,1,2 ,... ,k^Ni ,

где N - количество отсчетов исходного сигнала.

На выходе системы синтеза:

M−1 K _i−1 x n=∑i=0 m∑=0 y_im⋅g _in−k_i⋅m, K _i=_k^Ni .

в приведенных формулах n−k_i⋅m                                      и k_i⋅m−l вычисляются по модулю N

В матричной форме можно записать:

y=H^Tx,   ^x=G y,      x=G H^Tx,

y=[M×1], H=[N×M ], G=[N×M ], x=[N×1], x=[N×1].

Для того чтобы система А-С обладала свойством полного восстановления необходимо:

x=x,      G H^T=I.

если  H - квадратная, то  G=H⁻¹^T ; если  H - не квадратная, то  G=HH^T⁻¹H. если преобразование ортогональное, то HHT=HTH=I ,

H – квадратная

Тогда в случае полного восстановления H=G.

Фильтры анализа А-С системы производят октавополосное разбиение спектра



Ортогональные преобразования. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ,DFT).

Пара преобразований Фурье в непрерывной форме:

S st⋅exp−j⋅⋅tdt ; st S ⋅exp j⋅⋅td.

В дискретной форме:

S k=n∑=0 sn⋅exp−j2⋅N⋅n⋅k;	k=0,1,2 ,... ,N−1
sn=N1 N∑−1 S k⋅exp j 2⋅N⋅n⋅k;	n=0,1,2 ,... ,N−1

^N−¹

k=0

Спектральные преобразования. Частотно-временная локализация. Диаграмма частотно-временной локализации

Согласно принципу неопределенности Гейзенберга, одновременное представление сигнала как по времени так и по частоте невозможно со сколь угодно высокой точностью. При этом в случае нестационарных сигналов (когда характеристики меняются) требуется именно частотно-временной анализ. При этом сигнал можно представить на плоскости частота-время

частота                      частота

ДПФ обладает максимальной локализацией по частоте, но не обладает локализацией по времени. Другими словами нельзя определить в какой момент времени какие частоты присутствуют в сигнале.

Оконные преобразования Фурье

Оконные преобразования Фурье в непрерывной форме:

S , s t⋅wt−exp−j⋅⋅tdt ;

Оконные преобразования Фурье в дискретной форме:

S k=^Nn^∑=−0¹ sn⋅wn−m⋅exp−j ²⋅_N^⋅n⋅k;

k=0,1,2 ,... ,N−1 m=0,1,2 ,... ,M−1

                                                                                                                                 3 Гц          5 Гц                                                                2 Гц          4 Гц

Преобразование Габора

Оконные преобразования Фурье

S ,tdt ;

S k ,m=^Nn^∑=−0¹ s n⋅wn−m⋅exp−j ²⋅_N^⋅n⋅k;

k=0,1,2 ,... ,N −1 m=0,1,2 ,... ,M−1

2

wt      



Пирамида Лапласа

Двухуровневая пирамида Лапласа

Наложение спектров (aliasing). Квадратурно-зеркальные фильтры (КЗФ)

  2

X H₁⋅G₁]⋅X ...

(*)

⋅G₀ H₁⋅G₁]⋅X 

Второе слагаемое выражения  (*) характеризует наложение спектров. Потребуем чтобы

H₀=G₀−=F ,

H₁=G₁−=exp j⋅F −,

тогда                     X F −⋅F −]⋅X ...

 [F ⋅F −exp jF −⋅F ]⋅X 

c учетом     exp _ j₌₋1

X F −⋅F −]⋅X .

т.о. элайзинг на выходе системы ликвидирован, однако в каждой из полос он остался. конструирование КЗФ  сводится к расчету НЧ фильтра с ЧХ удовлетворяющей

F −⋅F −]=1, ∣F ∣²∣F ∣²=2.

Основы теории вейвлет-преобразования сигналов

Основным недостатком оконного преобразования Фурье является фиксированная ширина частотно-временного окна. Для устранения данного недостатка разработана теория вейвлет-преобразования. Непрерывное вейвлет-преобразование имеет вид:

S a,bstdt

Параметр а характеризует масштаб по частоте, параметр b – масштаб по времени

Базисная функция должна удовлетворять следующему соотношению: