Исследование статики объекта методом пассивного эксперимента. Определение вида уравнения регрессии и вычисление его коэффициентов

3.2. Исследование статики объекта методом пассивного эксперимента.

При статистическом (пассивном) методе используются данные об изменениях входных  и выходных  переменных объекта, которые представляют собой случайные величины. Определение статических характеристик при этом сводится к нахождению связи между случайными величинами и к оценке достоверности этой связи. Статистический метод базируется на принципах теории вероятности и математической статистики.

Математическая статистика представляет собой науку описания и анализа статистических экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения. Она базируется на теории вероятностей. Так как в процессе опыта получают ограниченный объем значений, наблюдаемых величии, то характеристики случайных величин и систем случайных величин, вычисленные по этим данным, сами являются величинами случайными. Их значения зависят от объема полученных экспериментальных данных. Эти значения называют оценками соответствующих характеристик, например, оценка математического ожидания , дисперсии , коэффициента корреляции , корреляционного отношения . Будем использовать выражения оценок, удовлетворяющих требуемым свойствам состоятельности, несмещенности и эффективности. В дальнейшем под названием характеристик случайных величин и систем случайных величин будем подразумевать их оценки.

3.2.1 Определение вида уравнения регрессии и вычисление его коэффициентов

Имеется технологический объект (промышленный аппарат, лабораторная установка и т.п.), у которого контролируемыми являются: выходная величина , определяющая результат функционирования объекта, например, расход целевого продукта, концентрация целевого компонента в продуктовом потоке, селективность процесса, температура в контролируемой точке и т.п.; входные величины , ,..., , определяющие значения расходов поступающих в объект материальных или энергетических потоков, состав исходной смеси, её температура и т.п. или промежуточные контролируемые параметры, влияющие на значение выходной величины.

Выходные и входные величины объекта являются случайными, поскольку на них, как правило, действуют не контролируемые параметры, изменяющиеся случайным образом. Поэтому уравнения, составленные для случайных величин, отражают не истинную, а статистическую, или стохастическую, связь.

Требуется определить такой вид функциональной зависимости (уравнение регрессии)

                                                         (3.18)

и такие значения её коэффициентов, при которых соотношение (3.18) адекватно исследуемому объекту в диапазоне изменения его параметров. Под адекватностью понимается совпадение с определенной точностью результатов расчета выходной величины  по соотношению (3.18) к ее экспериментальным значениям  при одних и тех же значениях входных параметров. Решение задачи включает следующие этапы.

1.  Оценка линейной статистической связи между величинами объекта и определение коэффициентов линейного уравнения регрессии.

2.  Оценка нелинейной статистической связи между величинами объекта и определение коэффициентов нелинейного уравнения регрессии.

3.2.1.1. Определение линейной стохастической связи между величинами объекта и вычисление коэффициентов линейного уравнения регрессии

Если нет предварительных данных о характере связи между выходной и входными величинами объекта, форму уравнения регрессии (3.18) выбирают линейной:

                                      (3.19)

Пусть имеется таблица значений наблюдаемых входных и выходной величины (табл.3.1).

Таблица 3.1. Значения наблюдаемых величин

Теснота линейной связи между выходной и входными величинами оценивается коэффициентом множественной корреляции .

Полная сумма квадратов отклонений выходной величины относительно её среднего определяется выражением

,            (3.20)

где составляющая  обусловлена разбросом значений выходной величины , вычисленных по (3.19), относительно среднего , а  обусловлена разбросом экспериментальных значений выходной величины  относительно уравнения регрессии (3.19).

Таким образом, физически коэффициент корреляции характеризует в изменении параметра  ту долю, которая вызвана пропорциональным действием контролируемых параметров. Чем выше значение ,  тем точнее по уравнению (3.19) можно предсказать значение . Значения  заключены в пределах . Если , то связь (3.19) является функциональной. При , линейная зависимость отсутствует.

Если , то имеет место более или менее тесная корреляционная связь. Для оценки линейной связи между двумя случайными величинами используется коэффициент парной корреляции , который определяется по выражению: