Исследование статики объекта методом пассивного эксперимента. Определение вида уравнения регрессии и вычисление его коэффициентов, страница 2

,                                        (3.21)

где  - среднее значение (математическое ожидание) величины ,  - среднее значение величины ,  - среднеквадратичное отклонение величины ,  - среднеквадратичное отклонение величины ;- число наблюдений.

Коэффициент парной корреляции изменяется в пределах .

Чем больше входных переменных в уравнении (3.19), тем выше значение , т.к. при этом выходная величина описывается более полно. Использование коэффициента корреляции как меры тесноты связи обосновано лишь в том случае, когда исследуемые случайные переменные имеют нормальные многомерные распределения. В противном случае интерпретация  не надежна. Линейные уравнения вида (3.19), как правило, удовлетворяют условию нормального многомерного распределения [1]. Приведем переменные  к нормированному виду по формулам

                                                                           (3.22)

и

,                                                                      (3.23)

где  обладает следующим свойством:

;                                                                            (3.24)

.                                                                              (3.25)

Покажем это:

,          

.    

Запишем выражения коэффициентов парной корреляции между нормированными переменными с учетом (3.24) и (3.25):

,                               (3.26)

.                                    (3.27)

Выразим  и  из (3.22) и (3.23) и подставим в (3.19). При условии, что , получим

,                                          (3.28)

где

,       .                                                      (3.29)

Для определения коэффициентов  воспользуемся методом наименьших квадратов. Составим функцию рассогласования (невязки) экспериментальных  и рассчитанных  по уравнению (3.28) нормированных значений выходной величины:

,                                                          (3.30)

Подставим выражение (3.28) в (3.30)и, используя необходимые условия минимума функции

,             ,                                       получим систему уравнений:

.                         (3.31)

Раскроем скобки в системе уравнений (3.31), разделим все члены на  и, используя выражения (3.26) и (3.27), получим систему нормальных уравнений:

.                      (3.32)

Перепишем систему уравнений (3.32) в матричной форме:

                                              (3.33)

Введем обозначения:

;                                                             (3.34)

;                                                                                      (3.35)

.                                                                                      (3.36)

С учетом обозначений (3.34), (3.35), и (3.36), уравнение (3,33) примет вид

.                                                                                          (3.37)

Умножим обе части равенства (3.37) слева на матрицу (3.38), обратную матрице (3.34):

,                                                      (3.38)

.                                                                               (3.39)

Учитывая, что  - единичная матрица, уравнение (3.39) примет вид

.                                                                                       (3.40)

Подставляя в (3.40) выражения (3.38) и (3.36), получим

.                                                                              (3.41)

По найденным значениям  и элементам  матрицы (3.34), , вычисляется коэффициент множественной корреляции

                                                                               (3.42)