Математическая модель периодического кристаллизатора с мешалкой. Отвод теплоты от кристаллизатора, охлаждаемого водой. Блок-схема алгоритма расчета периодического кристаллизатора

удельная поверхность теплопередачи;  - температура охлаждающей воды;  - коэффициент теплопередачи.

В системе уравнений (12.48) не учитывается масса зародышей в силу их малости. Однако зародышеобразование можно учесть в граничном условии для функции . Соотношение для функции плотности распределения  в точке  выводится из следующих соображений: за промежуток времени  в системе возникает  частиц нулевого размера, которые за рассматриваемый промежуток времени заполняют (в результате роста) интервал (,). С другой стороны, число частиц в этом же интервале размеров равно . Следовательно,

,                                                                 (12.50)

или

,                                                            (12.51)

где  - число возникающих зародышей в единицу времени в единице объема.

Рис. 12.3. Блок-схема алгоритма расчета периодического кристаллизатора с мешалкой

На рис. 12.3. изображена блок-схема алгоритма расчета периодического кристаллизатора.

12.6. Математическая модель непрерывного кристаллизатора с мешалкой.

Так же как и в предыдущем случае, предполагается, что в аппарате происходит идеальное перемешивание частиц потока.

Интегрируя по объему аппарата, занятого смесью, систему уравнений математической модели процесса кристаллизации (12.25) - (12.33), (12.36), (12.38), (12.40), при принятых допущениях получим

      (12.52)

Здесь  - объем аппарата;  - объемная скорость потока; , ,  - концентрация, плотность и температура раствора на входе в аппарат.

Первые три уравнения в системе (12.52) получаются интегрированием дифференциальных уравнений сохранения массы по объему аппарата. Пятое уравнение (баланса теплоты) получено следующим образом. Сложим три уравнения энергии (12.36), (12.38), (12.40):

.   (12.53)

Прибавляя и вычитая из уравнения (12.53) выражение

,                       (12.54)

получим

.                     (12.55)

Используя уравнения состояния

,            (12.56)

,                                                            (12.57)

уравнение (12.55) приведем к виду

.          (12.58)

Интегрируя уравнение (12.58) по объему, получим пятое уравнение в системе (12.52).

Для установившегося режима работы аппарата система уравнений (12.52) преобразуется к виду

.                      (12.59)

Решение последней системы уравнений может быть проведено по следующему алгоритму.

1.  Задают , , , , , , , , .

2.  Оценивают величины пересыщения  скорости зародышеобразования  и скорости роста кристаллов .

3.  Рассчитывают .

4.  Интегрируют дифференциальное уравнение и рассчитывают .

5.  Определяют , , .

6.  Если  и , то расчет оканчивают. В противном случае переходят к пункту 2 при  и .

12.7. Модель непрерывно действующего кристаллизатора с взвешенным слоем

Кристаллизаторы рассматриваемого типа включают две зоны: зону роста кристаллов, где кристаллическая фаза образует взвешенный слой, и зону пересыщения раствора. Обе зоны связаны между собой контуром циркуляции раствора. На рис. 12.4. приведена схема кристаллизатора. Исходный горячий концентрированный раствор, смешиваясь с циркулирующим раствором, поступает в теплообменник 2, где охлаждается на , приобретая небольшое пересыщение.

Рис. 12.4. Схема кристаллизатора с взвешенным слоем

Далее пересыщенный раствор по трубе 3 поступает в нижнюю часть кристаллорастителя 1, и, поднимаясь вверх, поддерживает кристаллы во взвешенном состоянии. Из верхней части кристаллорастителя маточный раствор поступает в циркуляционную трубу 5, где вновь смешивается с горячим концентрированным исходным раствором, после чего насосом 4 подается в теплообменник, и процесс повторяется. По мере роста кристаллов в кристаллорастителе они опускаются вниз и выводятся из аппарата через выгружное устройство 6.

При движении раствора через слой кристаллов вследствие их роста снижается пересыщение раствора. Выделяющаяся в процессе роста кристаллов скрытая теплота кристаллизации увеличивает температуру раствора, что, в свою очередь, приводит к изменению равновесной концентрации раствора.

В дальнейшем будем полагать, что основная масса зародышей возникает в нижней части аппарата, так как здесь создается наибольшее пересыщение раствора и объемная концентрация твердой фазы. Функцией распределения кристаллов по размерам будем пренебрегать, полагая, что в поперечном сечении аппарата кристаллы имеют один и тот же средний размер, Наконец, примем одинаковой вданном сечении аппарата температуру жидкой и кристаллической фаз. При сделанных допущениях общая система уравнений математического описания (12.25) - (12.33), (12.36), (12.38), (12.40) сведется к следующей системе:

,                                                                   

,                                                                   

,                                                               

,                                           

,           

,            (12.60)

,                                                                                 

,                                                                                    

,                                                                              

,                                                                               

,                                                                            

,                                                             

,                                                      

,                                                                  

.                                                                               

Здесь  - массовая скорость роста кристаллов в единице объема;  - массовая скорость роста одного кристалла;  - масса одного кристалла;  - площадь поперечного сечения аппарата;  - объем кристалла;  - эквивалентный диаметр кристалла;  - поверхность одного кристалла;  - равновесная концентрация раствора; ,  - теплоемкость жидкой и кристаллической фаз;  - удельная теплота кристаллизации;  - сила трения между жидкой фазой и стенками аппарата; ,  - коэффициенты зависимости равновесной концентрации от температуры.

Запишем граничные условия для системы уравнений (12.40): при  (нижний конец аппарата):

, , , , , (12.61)

при  (высота взвешенного слоя):

.                                                                      (12.62)

Рассмотрим уравнения движения жидкой и кристаллической фаз:

,          (12.63)

,                                        (12.64)

Вычитая уравнение (12.64) из (12.63), получим

.     (12.65)

Оценка порядка величин членов уравнения (12.65) показывает, что первый, второй и пятый члены являются пренебрежимо малыми по сравнению с третьими четвертым членами. Следовательно, в уравнении (12.65) можно пренебречь всеми членами, кроме третьего и четвертого:

.                                   (12.66)

Сила взаимодействия между жидкой и твердой фазами  определяется соотношением

,                                   (12.67)

где  - коэффициент сопротивления при стесненном движении кристаллов