Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Виды уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости

Глава5Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве.

5.1 Виды уравнения плоскости.

5.1.1 Общее уравнение плоскости.

Ах+Ву+Сz+D=0

Коэффициенты А, В, С в этом уравнении определяют так называемый нормальный вектор  , перпендикулярный плоскости, то есть являются его проекциями на оси декартовой системы координат . Приравнивая к нулю различные коэффициенты мы получаем частные виды общего уравнения плоскости.

а) - уравнение плоскости принимает вид:    Ах+Ву+Сz=0, такая плоскость проходит через начало координат.

б) - получаем уравнение: Ву+Сz+D=0, плоскость параллельна оси ОХ. Если коэффициент D=0:

Ву+Сz=0 – то плоскость проходит через ось ОХ.

в)  - получаем уравнение Ах+СZ+D=0 плоскость параллельна оси ОУ. В случае, если и коэффициент D=0:

Ах+СZ=0 – плоскость координат проходит через ось ОУ.

г) - получаем уравнение Ах+Ву+D=0 плоскость параллельна оси ОZ. В случае равенства нулю коэффициента D=0:

Ах+Ву=0 – плоскость проходит через ось ОZ.

д)

CZ+D=0 – плоскость параллельна координатной плоскости ХОУ

е)

AX+D=0 – плоскость параллельна координатной плоскости УОZ.

ж)

ВУ+D=0 – плоскость параллельна координатной плоскости ХОZ.

5.1.2 Уравнение плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.

Пусть задана точка и вектор  (Рис. 5.1)

                                                      z

p

y

x

Рис. 5.1

Возьмем произвольную точку М (х,у,z), принадлежащую искомой плоскости  Р. найдём проекции вектор  лежащего в плоскости  Р.

По условию вектор  перпендикулярен плоскости  Р, следовательно вектор  перпендикулярен вектору . Используя условие перпендикулярности двух векторов получим . Представляя скалярное произведение в координатной форме получим искомое уравнение.

А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0

5.1.3 Уравнение плоскости проходящей через три заданные точки.

Пусть заданы три точки принадлежащие искомой плоскости  Р  М₁(х₁,у₁,z₁); М₂(х₂,у₂,z₂); М(х₃,у₃,z₃).  (Рис. 5.2)

                                                                z

p

                                                                                                               y

Возьмём произвольную точку М(x,y,z) принадлежащую искомой прямой  Р.

Рассмотрим векторы:

Так как точки М₁, М₂, М₃, М лежат в одной плоскости, то векторы  - коллинеарные, следовательно их смешанное произведение равно нулю.

Представляя это произведение в координатной форме, получим искомое уравнение:

1.  Уравнение плоскости в отрезках.

Рассмотрим плоскость пересекающую все три координатные оси и не проходящую через начало координат. Запишем уравнение этой плоскости в общем виде.

Ах+Ву+Сz+D=0

Пусть а, b, с длины отрезков отсекаемые плоскостью на осях координат (Рис. 5.3)

z

                                                  R

Q

                                                   0                                                      y

P х

Рис 5.3

Точка Р(0,0,0) лежит на плоскости поэтому она обращает уравнение плоскости в тождество.

аналогично точка Q(0,b,0) лежит на плоскости, из этого следует

аналогично точка R(0,0,c) лежит на плоскости.

Подставляя найденные значения коэффициентов в уравнение плоскости получим:

так как по условию D не равно нулю, то полученное уравнение можно сократить на D.

Полученное уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

5.2 Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть уравнения двух плоскостей заданы в виде:

А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0

А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0

Угол между этими плоскостями равен углу между нормальными векторами этих плоскостей  и может быть найден из известного выражения :

Если две плоскости перпендикулярны, то угол между векторами равен 90⁰ отсюда следует условие перпендикулярности плоскостей.

Если две плоскости параллельны, то нормальные векторы  параллельны и условие параллельности двух плоскостей сводится к условию колинеарности векторов .

Пусть задана точка М₁(х₁,у₁,z₁) и плоскость Ах+Ву+Сz+D=0. Формула расстояния от точки М₁ до заданной плоскости определяется формулой:

5.3 Виды уравнений прямой в пространстве.

5.3.1 Каноническое уравнение прямой в пространстве.

Пусть задана точка М₀(x₀,y₀,z₀) и вектор , параллельный искомой прямой и называемой направляющим вектором прямой. (Рис. 5.4)

z

0

                                                                                                                  y

x

Рис. 5.4

На прямой возьмём произвольную точку М (x,y,z) и рассмотрим вектор . Вектор  параллелен . Из условия параллельности двух векторов следует:

Полученные уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

5.3.2 Параметрические уравнения прямой.

Приравнивая в канонических уравнениях прямой каждую из дробей некоторому параметру t:

Получим уравнения выражающие текущие координаты каждой точки прямой через параметр t.

таким образом параметрические уравнения прямой имеют вид:

5.3.3 Уравнения прямой проходящей через две заданные точки.