Даны две точки А (2,-1,-2) и В (8,-7,5). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку В, перпендикулярную отрезку АВ.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.
А(х-х0)+В(у-у0)+C(z-z0)=0
В качестве точки используем точку В (8,-7,5), а в
качестве вектора, перпендикулярного плоскости вектор . Найдём проекции вектора
:
тогда уравнение плоскости получим в виде:
6(х-8)-6(у+7)+7(z-5)=0
6х-48-6у-42+7z-35=0
6х-6у+7z-35=0
6х-6у+7z-125=0
Найти уравнение плоскости, параллельной оси ОY и проходящей через точки К(1,-5,1) и М(3,2,-2).
Так как плоскость параллельна оси ОY, то воспользуемся неполным уравнением плоскости.
В силу того, что точки К и М лежат на плоскости, получим два условия.
Выразим из этих условий коэффициенты А и С через D.
Подставим найденные коэффициенты в неполное уравнение плоскости:
так как , то сокращаем
D:
Найти уравнение плоскости проходящей через три точки М(7,6,7), К(5,10,5), R(-1,8,9)
Воспользуемся уравнением плоскости проходящей через 3 заданные точки.
подставляя координаты точек М,К,R как первой, второй и третьей получим:
раскроем определитель по 1ой строке.
Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (8,-3,1); М2 (4,7,2) и перпендикулярно плоскости 3х+5у-7z-21=0
Сделаем схематический чертёж (Рис 5.7)
![]() |
Обозначим заданную плоскость Р1 а искомую
плоскость Р2.. Из уравнения заданной плоскости Р1
определяем проекции вектора ,
перпендикулярного плоскости Р1.
Вектор путём
параллельного переноса может быть перемещён в плоскость Р2, так как
по условию задачи плоскость Р2 перпендикулярна плоскости Р1 ,
а это значит вектор
параллелен плоскости Р2.
Найдём проекции вектора лежащего
в плоскости Р2:
теперь мы имеем два вектора и
,
лежащих в плоскости Р2. очевидно вектор
,
равный векторному произведению векторов
и
будет перпендикулярен плоскости Р2,
т. к. он перпендикулярен
и
, поэтому его нормального вектора
плоскости Р2.
Векторы и
заданы своими проекциями
поэтому:
Далее, используем уравнение плоскости, проходящей
через заданную точку перпендикулярную вектору. В качестве точки можно взять
любую из точек М1 или М2, например М1(8,-3,1);
В качестве нормального вектора к плоскости Р2 берём .
74(х-8)+25(у+3)+50(z-1)=0
3(х-8)+(у-3)+2(z-1)=0
3х-24+у+3+27-2=0
3х+у+2z-23=0
Пример 7:
Прямая задана пересечением двух плоскостей. Найти канонические уравнения прямой.
![]() |
Рис 5.8
Решение:
Имеем уравнение в виде:
Надо найти точку (х0,у0,z0), через
которую проходит прямая и направляющий вектор .
Выберем произвольно одну из координат. Например, z=1, тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Таким образом, мы нашли точку лежащую на искомой прямой (2,0,1).
В качестве направляющего вектора искомой прямой возьмём векторное
произведения
векторов
и
,
являющихся нормальными векторами т.к.
,
а значит параллельно искомой прямой.
Таким образом, направляющий вектор прямой имеет
проекции . Используя уравнение прямой
проходящий через заданную точку параллельно заданному вектору:
Итак искомое каноническое уравнение имеет вид:
Запишем заданное уравнение прямой в параметрическом виде.
х=3t-2; y=-t+2; z=2t-1
каждой точке прямой соответствует единственное значение параметра t. Для нахождения параметра t соответствующего точке пересечения прямой и плоскости подставим в уравнение плоскости выражение х, у, z через параметр t.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.