Расчёт двухшарнирной арки методом сил

Страницы работы

Содержание работы

Расчёт двухшарнирной арки методом сил.

Исходные  данные.  Пролет  l = 30 м,  стрела подъема  f = 6,2 м, очертание оси – квадратная парабола

,

начало координат – на левой опоре; вертикальные внешние нагрузки:  q = 5 кН/м,  P = 45 кН, жесткости                      EJ = 1,5 ∙ 106 кН ∙ м2, EF = 2,5 ∙ 107 кН.

Расчетная схема арки изображена на рисунке 1.

                   

Рисунок 1

Геометрические параметры оси арки. Разобьем пролет арки на 8 равных частей так, чтобы сосредоточенная сила совмещалась с точкой деления, примем Δz = l/8 = 30/8 = 3,75 м, выберем 9 расчетных сечений на оси (0, …, 8). Положение k-го сечения характеризуется тремя параметрами: абсциссой zk = kΔz, ординатой  и углом наклона касательной к оси арки jk.

Для вычисления jk продифференцируем функцию :

. Отсюда . Вычисляем также значения  sin jk  и  cos jk.

Рассчитанные параметры арки записываем в графы 1–6 таблицы 1.

Выбор основной системы и составление канонического уравнения. Арка один раз статически неопределима. Для ее расчета методом сил выбираем балочную основную систему, т. е. представляем арку в виде статически определимой криволинейной балки на двух опорах. Для этого отбрасываем в точке В горизонтальный опорный стержень и вводим неизвестную силу Х1 (рисунок 2).

Каноническое уравнение запишется следующим образом:

,

где Х1 – неизвестная горизонтальная сила, δ11 – единичное перемещение по направлению Х1 от действия Х1 = 1,         D1p – грузовое перемещение по направлению Х1, вызванное внешней нагрузкой.

                   

Рисунок 2

Для определения коэффициента и свободного члена канонического уравнения необходимо найти внутренние усилия в основной системе от действия Х1 = 1 и внешней нагрузки.

Определение усилий в основной системе от Х1 = 1. Рассматриваем единичное состояние основной системы,  т. е. нагружение ее усилием Х1 = 1 (рисунок 3). Составляя уравнения моментов всех сил относительно левой и правой опор, убеждаемся, что вертикальные опорные реакции нулевые, а горизонтальная реакция левой опоры равна 1.

         

Рисунок 3

Изгибающие моменты, поперечные и продольные силы в основной системе от  Х1 = 1  определяем по формулам:

.

Рассчитываем внутренние усилия в сечениях 0, ..., 8 и записываем их в графы 7–9 таблицы 1.

Определение усилий в основной системе от внешней нагрузки. Рассматриваем грузовое состояние основной системы, т. е. воздействие на нее вертикальных нагрузок q и Р (рисунок 4).

Для исследуемой арки будут справедливы формулы по расчету внутренних усилий в трехшарнирной арке. Очевидно, что распор НА = 0.

Вначале определим опорные реакции и внутренние усилия в соответствующей балке (рисунок 5).

Опорные реакции балки VAб, VBб вычислим из уравнений статики:

,

отсюда   кН,

кН.

Проверка: .

                    

Рисунок 4

                                       

Рисунок 5

Вычисляем внутренние поперечные силы Qрб и изгибающие моменты Мрб  в сечениях балки  0, …, 8.

Qр0б = VAб = 86 кН,  Мр0б = 0;

Qр1б = VAбqz1 = 86 – 5 × 3,75 = 67,3 кН,

Мр1б = VAбz1qz12/2 = 86 × 3,75 – 5 × 3,752/2 = 287,3 кН × м;

Qр2б  = VAбqz2 = 86 – 5 × 7,5 = 48,5 кН,

Мр2б = VAбz2qz22/2 = 86 × 7,5 – 5 × 7,52/2 = 504,4 кН × м;

Qр3бVАбq z3 =  86 – 5 × 11,25 = 29,8 кН,

Мр3б = VАб z3q z32/2 = 86 × 11,25 – 5 × 11,252/2 = 651,1 кН × м;

Qр4бVАбq z4 =  86 – 5 × 15 = 11 кН,

Мр4б = VАб z4q z42/2 = 86 × 15 – 5 × 152/2 = 727,5 кН × м;

Qр5бVАбq z5 =  86 – 5 × 18,75 = – 7,8 кН,

Мр5б = VАб z5q z52/2 = 86 × 18,75 – 5 × 18,752/2 = 733,6 кН × м;

Qр6б лев = VАбq z6 =  86 – 5 × 22,5 = – 26,5 кН (левее силы Р),                                                                                                            Qр6б прав = VAбqz6Р = 86 – 5 × 22,5 – 45 = – 71,5 кН (правее силы Р),                                                                    Мр6б = VАб z6q z62/2 = 86 × 22,5 – 5 × 22,52/2 = 669,4 кН × м;

Qр7б = – VВб + q(l – z7) = – 109 + 5 × 3,75 = – 90,3 кН,

Мр7б = VBб(l – z7) – q(lz7)2/2 = 109 × 3,75 – 5 × 3,752/2 = 373,6 кН × м;

Qр8б = – VВб = – 109 кН,  Мр8б = 0.

Рассчитанные значения заносим в графы 10 и 11 таблицы 1.

Вертикальные составляющие опорных реакций основной системы VA и VB равны опорным реакциям соответствующей балки

кН, кН.

Внутренние усилия в основной системе от внешней нагрузки рассчитываем по формулам:

а) изгибающий момент  ;

б) поперечная сила         ;

в) продольная сила          .

Значения внутренних усилий от внешней нагрузки записываем в графы 12–14 таблицы 1.

Таблица 1.

№ сечения

Геометрические параметры оси арки

Усилия в о. с.           от Х1 = 1

Усилия от внешней нагрузки

(q = 5 кН/м, Р = 45 кН)

в соответствующей балке

в основной системе

z, м

y, м

j, рад

sin j

cos j

__                                      М1 = – y,  м

__                                     Q1 = – sin j

__                                    N1 = – cos j

Mpб , кН × м

Qpб , кН

Mp = Mpб, кН × м

Qp = Qpб cos j, кН

Np = – Qpб sin j , кН

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0

0,000

0,000

0,691

0,637

0,771

0,000

-0,637

-0,771

0,000

86,000

0,000

66,284

-54,795

1

3,750

2,713

0,555

0,527

0,850

-2,713

-0,527

-0,850

287,300

67,300

287,300

57,198

-35,463

2

7,500

4,650

0,392

0,382

0,924

-4,650

-0,382

-0,924

504,400

48,500

504,400

44,822

-18,526

3

11,250

5,813

0,204

0,202

0,979

-5,813

-0,202

-0,979

651,100

29,800

651,100

29,183

-6,031

4

15,000

6,200

0,000

0,000

1,000

-6,200

0,000

-1,000

727,500

11,000

727,500

11,000

0,000

5

18,750

5,813

-0,204

-0,202

0,979

-5,813

0,202

-0,979

733,600

-7,800

733,600

-7,639

-1,579

6 (слева)

22,500

4,650

-0,392

-0,382

0,924

-4,650

0,382

-0,924

669,400

-26,500

669,400

-24,490

-10,123

6 (справа)

22,500

4,650

-0,392

-0,382

0,924

-4,650

0,382

-0,924

669,400

-71,500

669,400

-66,078

-27,312

7

26,250

2,713

-0,555

-0,527

0,850

-2,713

0,527

-0,850

373,600

-90,300

373,600

-76,746

-47,583

8

30,000

0,000

-0,691

-0,637

0,771

0,000

0,637

-0,771

0,000

-109,000

0,000

-84,011

-69,449

Похожие материалы

Информация о работе