Расчета плоской рамы методом перемещений

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский государственный университет транспорта

кафедра «Строительная механика»

Курсовая работа

часть № 3

по строительной механике

2002

Замечание. Во всех вариантах курсовой работы рамы два раза кинематически неопределимы, а не три, как в данном примере!

Пример расчета плоской рамы методом перемещений

Исходные данные:  пролет  l = 24 м,  высота  h = 8 м,  длина консоли а = 2,4 м,   нагрузки  P = 80 кН,  q = 20 кН/м; коэффициент k = 0,5.

Расчетная схема рамы изображена на рисунке 1.

Рисунок 1

1.1 Вычисление степени кинематической неопределимости

При расчете рамы необходимо установить общее число неизвестных метода перемещений, в качестве которых принимаются углы поворота и линейные смещения узлов системы.

Для определения числа неизвестных необходимо вычислить степень кинематической неопределимости по следующей формуле:

n = n_у + n_л,

где n_у – число неизвестных углов поворота узлов, равное количеству жестких узлов рамы; n_л – число неизвестных независимых линейных перемещений узлов.

Число независимых линейных смещений узлов n_л равно степени свободы шарнирной схемы, полученной из заданной системы путем введения полных шарниров во все жесткие узлы и опорные закрепления. При этом все имеющиеся статически определимые консоли должны быть предварительно отброшены.

Наша конструкция имеет два жестких узла, поэтому  n_у = 2.  Преобразуем заданную раму в шарнирную схему, представляющую собой геометрически изменяемую систему (рисунок 2). Определяем число независимых  линейных  смещений  узлов,  равное ее  степени свободы:

n_л = W ^ш.с. = Ш – 3К,

где Ш – количество простых шарниров, К – число замкнутых контуров.

Рисунок 2

В  нашем  случае   Ш = 10, К = 3,  nл = 10 – 3 ∙ 3 = 1. Степень кинематической неопределимости n = 2 + 1 = 3,

следовательно, имеем три неизвестных метода перемещений: два угла поворота и одно горизонтальное линейное смещение узлов системы.

1.2 Выбор основной системы

Основная система метода перемещений – это система, полученная из заданной введением в узлы дополнительных связей, препятствующих угловым и линейным перемещениям узлов. 

Общее число вводимых связей равно, естественно, степени кинематической неопределимости (числу неизвестных метода перемещений). В соответствии с принятыми неизвестными вводим два защемления в жесткие узлы рамы и один горизонтальный опорный стержень. Для компенсации дополнительных связей основной системе необходимо придать углы поворота Z₁, Z₂ и линейное смещение Z₃ , имеющиеся в заданной системе (рисунок 3).

Рисунок 3

Полученная основная система с полным числом связей состоит из стандартных однопролетных балок, которые уже изучены на действие нагрузки и смещение их концов.

1.3 Составление системы канонических уравнений

Рама три раза кинематически неопределима, следовательно, канонические уравнения представляют собой систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

r₁₁Z₁ + r₁₂Z₂ + r₁₃Z₃ +R_1p = 0;

r₂₁Z₁ + r₂₂Z₂ + r₂₃Z₃ +R_2p = 0;                                                   (1)

r₃₁Z₁ + r₃₂Z₂ + r₃₃Z₃ +R_3p = 0.

Здесь Z_i – неизвестное  перемещение  по  направлению i-ой  введенной связи; r_ij – реакция в i-ой связи от единичного перемещения j-ой связи; R_ip – реакция i-ой связи от внешней нагрузки.

Следует отметить, что r₁₁, r₁₂, r₁₃, R_1p;  r₂₁, r₂₂, r₂₃, R_2p представляют собой моментные реакции защемлений 1 и 2;  r₃₁, r₃₂, r₃₃, R_3p – силовые реакции опорного стержня 3. При этом  r_ii  являются главными единичными реакциями;  r_ij (i  j) – побочными; r_ij = r_ji.

Для определения рассмотренных коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений необходимо построить единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов.

1.4 Построение единичных и грузовой эпюр

изгибающих моментов

Рассматриваем деформирование основной системы в результате поворота связи 1 на величину z₁ = 1 (рисунок 4, а). Используя таблицы, строим  единичную  эпюру  изгибающих  моментов   . Сразу  же отмечаем  значение  опорной  реакции  в  несмещающейся  заделке  (рисунок 4, б).

а)
б)

Рисунок 4

Далее рассматриваем деформирование основной системы в результате поворота связи 2 на величину z₂ = 1 (рисунок 5, а). По таблицам строим единичную эпюру изгибающих моментов . Отмечаем значение  опорной  реакции  в  защемлении  (рисунок 5, б).

а)
б)

Рисунок 5

Исследуем деформирование основной системы в результате горизонтального перемещения связи 3 на величину z₃ = 1 (рисунок 6, а).

а)
б)

Рисунок 6

Строим единичную эпюру . Отмечаем  значения опорных  реакций  в  несмещающейся  заделке  и защемлении (рисунок 6, б).

Прикладываем к основной системе только заданную внешнюю нагрузку (рисунок 7, а). Пользуясь таблицами, для отдельных статически неопределимых балок строим эпюры изгибающих моментов. Изобразив их на общей базе, получаем грузовую эпюру М_р (рисунок 7, б).

а)
б)

Рисунок 7

1.5 Вычисление единичных и грузовых реакций

В соответствии с типами реакций определяем их двумя способами: моментные реакции вырезанием узла, силовые – отсечением рамы от опор. При этом величины  r₁₁, r₂₂, r₃₃  должны быть положительными, остальные могут иметь любой знак, а также быть равными нулю.

Определение моментных реакций

Найдем моментные реакции r₁₁, r₁₂, r₁₃, R_1p  1-ой введенной связи от перемещений Z₁ = 1, Z₂ = 1, Z₃ = 1 и от внешней нагрузки. Для этого вырежем жесткий узел с рассматриваемой связью в различных состояниях (рисунок 8) и рассмотрим его равновесие. Каждый раз будем составлять уравнение Σ М ^узла = 0 и выражать из него искомую реакцию.

Рисунок 8

 =  = 0,400641 EJ (1/м);  

;   =  – 0,027737 EJ (1/м²);

 =  = 384,0 кН ∙ м.

Определим моментные реакции r₂₁, r₂₂, r₂₃, R_2p  2-ой введенной связи от перемещений Z₁ = 1, Z₂ = 1, Z₃ = 1 и от внешней нагрузки. Вырежем жесткий узел с рассматриваемой связью в различных состояниях (рисунок 9) и рассмотрим его равновесие, составив уравнение Σ М ^узла = 0 для каждого из состояний.

Рисунок 9

;

 =  

      = 1,1875 EJ (1/м);

 =  = – 0,260417 EJ (1/м²);

 =  = 85,33 кН ∙ м;

Определение силовых реакций

Найдем силовые реакции r₃₁, r₃₂, r₃₃, R_3p  3-й введенной связи от перемещений Z₁ = 1, Z₂ = 1, Z₃ = 1 и от внешней нагрузки. Для этого отсечем  часть  рамы  от  несмещающихся  опор  и  рассмотрим  ее  равновесие в различных состояниях (рисунок 10). Будем составлять уравнение  Σ Y  = 0 и выражать из него искомую реакцию.

 =  – 0,027737 EJ (1/м²);

 =  = – 0,260417 EJ (1/м²);

 =  = 0,113841 EJ (1/м³);

.

Рисунок 10

Проанализировав полученные значения реакций, убеждаемся, что главные единичные реакции положительны, а для побочных выполняются условия  r₁₂ = r₂₁, r₁₃ = r₃₁, r₂₃ = r₃₂  на основании теоремы о взаимности единичных реакций.

1.6 Проверка правильности вычисления реакций

Выясним правильность вычисления единичных реакций, выполнив универсальную проверку. Для этого построим суммарную единичную эпюру , сложив единичные эпюры  в общем виде (рисунок 11, а) и с подсчетом ординат (рисунок 11, б). Вычислим суммарную единичную реакцию r_ss, умножив  саму на себя. Результат должен быть равен сумме всех единичных реакций:

.

r_ss =

 =

 =

= 1,125674 EJ.

= 1,125674 EJ.

а)
б)

Рисунок 11

Результаты совпали, следовательно, единичные реакции вычислены верно.

Проверим правильность вычисления грузовых реакций. Для этого построим грузовую эпюру  M_p^*  в любой статически определимой системе, полученной из заданной путем отбрасывания лишних связей (т. е. в основной системе метода сил) (рисунок 12). Вычислим суммарную грузовую реакцию R_sp, перемножив эпюры  и M_p^*. Результат должен быть равен сумме всех грузовых реакций, взятой с обратным знаком:

.

а)
б)

Рисунок 12

R_sp =

=

;

 кН ∙ м.

Результаты совпали, значит, грузовые реакции вычислены верно.