Расчет плоской фермы методом сил

Страницы работы

Содержание работы

Пример расчета плоской фермы методом сил

Исходные  данные:  пролет  l = 24 м,   высота  h = 4 м,  система  сил P = 30 кН;   жесткости:  решетки  EF1  =  1,5 ∙ 105 кН,  верхнего пояса  EF2 = 2,0 ∙ 105 кН,  нижнего пояса  EF3 = 3,0 ∙ 105 кН.

Расчетная схема фермы изображена на рисунке 1.

Рисунок 1

Обозначим стержни номерами 0, ..., 29. Определим величины углов α и β, а также длины стержней li (i = 0, ..., 29).

Очевидно, что α = 45˚.  а =  =  = 3,2 м; tg β = a/(0,3h) = 3,2/(0,3 ∙ 4) = 8/3,  β = 69,44˚.

Длины стоек l2 = l6 = l10 = l14 = l18 = l22 = l26 = 0,6 h = 0,6 ∙ 4 = 2,4 м, стержней нижнего пояса 0 и 28   l0 = l28 = 0,6 h = 2,4 м;  стержней верхнего пояса 1 и 27   l1 = l27 = 0,6 h/сos α = 0,6 ∙ 4/ cos 45˚ = 3,39 м;   раскосов и остальных стержней поясов  l3 = l4 = l5 = l7 = l8 = ... = 0,3 h/сos β = 0,3 ∙ 4/ cos 69,44˚ = 3,42 м;  стержня 29   l29 = 4а = 4 ∙ 3,2 = 12,8 м.

Заполняем графы 1 – 3 таблицы 1, записывая номер, длину и жесткость каждого стержня.

Степень статической неопределимости  вычисляем по формуле

s = – W = – (2УССО),

где У – количество узлов, С – количество стержней, СО – число опорных стержней. В рассматриваемом случае У = 16, С = 30, СО = 3; 

s = – (2 ∙ 16 – 30 – 3) = 1.

Ферма один раз статически неопределима.

Выбор основной системы и составление канонического уравнения

Основную систему метода сил образуем из заданной, отбрасывая одну связь (разрезая, но не устраняя лишний стержень) и вводя по ее направлению неизвестную продольную силу Х1 (рисунок 2).

Рисунок 2

Так как ферма один раз статически неопределима, имеем одно каноническое уравнение:

δ11 Х1 + D1p = 0,                                                                           (1)

где Х1 – неизвестная продольная сила в стержне 29, δ11 – единичное перемещение по направлению Х1 от действия Х1 = 1, D1p – грузовое перемещение по направлению Х1, вызванное внешней нагрузкой.

Для определения коэффициента и свободного члена уравнения (1) необходимо найти внутренние продольные силы в стержнях основной системы от действия Х1 = 1 и внешней нагрузки.

Определение усилий в стержнях основной системы от Х1 = 1. Рассматриваем единичное состояние основной системы, т. е. нагружение ее усилием Х1 = 1 (рисунок 3). Составляя уравнения моментов всех сил относительно левой и правой опор, убеждаемся, что все опорные реакции (HA, VA, VB) нулевые.

Рисунок 3

Для определения внутренних усилий воспользуемся методом вырезания узлов. Последовательно будем рассматривать равновесие узлов основной системы (рисунок 4), составляя уравнения ∑Y = 0 и ∑Z = 0.

Узел А.  ΣY = 0, ;  ΣZ = 0, .

Узел 0-2-3.  ΣZ = 0, ;  ΣY = 0, .

Узел 1-2-4-5.  ΣZ = 0, ;  ΣY = 0, .

Узел 3-4-6-7.  ΣZ = 0,  = – 1,068;  ΣY = 0, = 0,375.

Узел 5-6-8-9.  ΣZ = 0, ;  ΣY = 0, ;

 = 0,534;  = – 0,534.

Узел 7-8-10-11.  ΣZ = 0, ;  = – 1,602;

 ΣY = 0, ;  = 0,375.

Узел 9-10-12-13.  ΣZ = 0, ;  ΣY = 0, ;

 = 1,068;  = – 0,534.

Узел 13-14-15. ΣZ = 0,  = 1,068;  ΣY = 0,  = – 0,750.

Рисунок 4

В силу симметрии основной системы и ее нагружения

 = – 0,534;  = – 1,602;  = 0,375;

 = 0,534;  = – 0,534;  = – 1,068;

 = 0,375; ====== 0

Усилие в разрезанном стержне .

Рассчитанные значения внутренних усилий от Х1 = 1 записываем в графу 4 таблицы 1.

Определение усилий в стержнях основной системы от внешней нагрузки. Рассматриваем грузовое состояние основной системы, т. е. нагружение ее в узлах сосредоточенными силами Р (рисунок 5).

Определяем опорные реакции, рассматривая равновесие фермы в целом.

VA = VB = 0,5(7P + 2 ∙ 0,5P) = 4P = 4 ∙ 30 = 120 кН; HА = 0.

Рисунок 5

Для определения внутренних усилий воспользуемся методом вырезания узлов. Последовательно будем рассматривать равновесие узлов основной системы (рисунок 6), составляя уравнения ∑Y = 0 и ∑Z = 0.

Узел А.  ΣY = 0,  = (0,5 ∙ 30 – 4 ∙ 30)/sin 45o = – 148,49 кН; 

ΣZ = 0,  = 148,49 ∙ соs 45o = 105,00 кН.

Узел 0-2-3.  ΣZ = 0,  = 105,00 / sin 69,44о = 112,14 кН;

 ΣY = 0,  = – 112,14 ∙ соs 69,44о = – 39,38 кН.

Узел 1-2-4-5.  ΣZ = 0, ;   ΣY = 0, ;

=

= (–148,49) += – 218,94 кН;

 =  = 106,80 кН.

Узел 3-4-6-7.  ΣZ = 0,  = 112,14 + 106,80 = 218,94 кН;  

ΣY = 0,  = (112,14 – 106,80 – 218,94)cos 69,44о = –75,00 кН.

Узел 5-6-8-9.  ΣZ = 0, ;

 ΣY = 0, ;

= – 218,94 + (30 – 75,00) = – 283,02 кН;

 = 283,02 – 218,94 = 64,08 кН.

Узел 7-8-10-11.  ΣZ = 0, ;  = 218,94 + 64,08 = 283,02 кН; 

ΣY = 0, ;

 = (218,94 – 64,08 – 283,02)cos 69,44o = – 45,00 кН.

Узел 9-10-12-13.  ΣZ = 0, ;

 ΣY = 0, ;

= –283,02 + (–45,00 + 30)/(2cos 69,44о) = – 304,38 кН; 

 = – 283,02 + 304,38 = 21,36 кН

Узел 13-14-15.  ΣZ = 0,  = – 304,38 кН;

 ΣY = 0,  = – 30 + 2 ∙ 304,38 ∙ cos 69,44o = 183,75 кН.

Рисунок 6

В силу симметрии основной системы и ее нагружения

 = 21,36 кН;       = 283,02 кН;     = – 45,00 кН;

 = – 283,02 кН;  = 64,08 кН;       = 218,94 кН;

 = – 75,00 кН;    = – 218,94 кН;   = 106,80 кН;

 = 112,14 кН;     = – 39,38 кН;     = – 148,49 кН;

 = 105,00 кН.  Усилие в разрезанном стержне .

Рассчитанные значения внутренних усилий от внешней нагрузки записываем в графу 5 таблицы 1.

Определение единичного и грузового перемещений. Решение канонического уравнения. Коэффициент (единичное перемещение) и свободный член (грузовое перемещение) канонического уравнения (1) вычисляем по формулам:

δ11 = ∑;    D1p = ∑.

Здесь li, EFi – длина и жесткость i-го стержня, ,  – усилия в нем от Х1 = 1 и от внешней нагрузки (i = 0, ..., 29).

Для каждого стержня вычисляем величины  и , заносим их соответственно в графы 6 и 7 таблицы 1, затем проводим суммирование по всем стержням. Значения полученных сумм записываем в последнюю строку таблицы. Это и есть искомые  δ11  и  D1p :

δ11 = 219,84 ∙ 10–6 м/кН;   D1p = – 376,57 ∙ 10–4 м.

Далее из уравнения (1) определяем продольную силу в стержне 29:

 = 171,3 кН.

Вычисление окончательных значений продольных сил. Находим усилия в стержнях основной системы от действительного значения Х1, умножая данные графы 4  на  Х1 = 171,3 кН. Результат записываем в графу 8.

Определяем окончательные продольные усилия в стержнях фермы:

,

где Ni – усилие в i-ом стержне заданной статически неопределимой фермы от внешней нагрузки.

Похожие материалы

Информация о работе