Расчёт двухшарнирной арки методом сил

Расчёт двухшарнирной арки методом сил.

Исходные  данные.  Пролет  l = 30 м,  стрела подъема  f = 6,2 м, очертание оси – квадратная парабола

,

начало координат – на левой опоре; вертикальные внешние нагрузки:  q = 5 кН/м,  P = 45 кН, жесткости                      EJ = 1,5 ∙ 10⁶ кН ∙ м², EF = 2,5 ∙ 10⁷ кН.

Расчетная схема арки изображена на рисунке 1.

                   

Рисунок 1

Геометрические параметры оси арки. Разобьем пролет арки на 8 равных частей так, чтобы сосредоточенная сила совмещалась с точкой деления, примем Δz = l/8 = 30/8 = 3,75 м, выберем 9 расчетных сечений на оси (0, …, 8). Положение k-го сечения характеризуется тремя параметрами: абсциссой z_k = kΔz, ординатой  и углом наклона касательной к оси арки j_k.

Для вычисления j_k продифференцируем функцию :

. Отсюда . Вычисляем также значения  sin j_k  и  cos j_k.

Рассчитанные параметры арки записываем в графы 1–6 таблицы 1.

Выбор основной системы и составление канонического уравнения. Арка один раз статически неопределима. Для ее расчета методом сил выбираем балочную основную систему, т. е. представляем арку в виде статически определимой криволинейной балки на двух опорах. Для этого отбрасываем в точке В горизонтальный опорный стержень и вводим неизвестную силу Х₁ (рисунок 2).

Каноническое уравнение запишется следующим образом:

,

где Х₁ – неизвестная горизонтальная сила, δ₁₁ – единичное перемещение по направлению Х₁ от действия Х₁ = 1,         D_1p – грузовое перемещение по направлению Х₁, вызванное внешней нагрузкой.

                   

Рисунок 2

Для определения коэффициента и свободного члена канонического уравнения необходимо найти внутренние усилия в основной системе от действия Х₁ = 1 и внешней нагрузки.

Определение усилий в основной системе от Х₁ = 1. Рассматриваем единичное состояние основной системы,  т. е. нагружение ее усилием Х₁ = 1 (рисунок 3). Составляя уравнения моментов всех сил относительно левой и правой опор, убеждаемся, что вертикальные опорные реакции нулевые, а горизонтальная реакция левой опоры равна 1.

         

Рисунок 3

Изгибающие моменты, поперечные и продольные силы в основной системе от  Х₁ = 1  определяем по формулам:

;  ;  .

Рассчитываем внутренние усилия в сечениях 0, ..., 8 и записываем их в графы 7–9 таблицы 1.

Определение усилий в основной системе от внешней нагрузки. Рассматриваем грузовое состояние основной системы, т. е. воздействие на нее вертикальных нагрузок q и Р (рисунок 4).

Для исследуемой арки будут справедливы формулы по расчету внутренних усилий в трехшарнирной арке. Очевидно, что распор Н_А = 0.

Вначале определим опорные реакции и внутренние усилия в соответствующей балке (рисунок 5).

Опорные реакции балки V_A^б, V_B^б вычислим из уравнений статики:

,  ,  ,  ,

отсюда   кН,

кН.

Проверка: ,  .

                    

Рисунок 4

                                       

Рисунок 5

Вычисляем внутренние поперечные силы Q_р^б и изгибающие моменты М_р^б  в сечениях балки  0, …, 8.

Q_р0^б = V_A^б = 86 кН,  М_р0^б = 0;

Q_р1^б = V_A^б – qz₁ = 86 – 5 × 3,75 = 67,3 кН,

М_р1^б = V_A^бz₁ – qz₁²/2 = 86 × 3,75 – 5 × 3,75²/2 = 287,3 кН × м;

Q_р2^б  = V_A^б – qz₂ = 86 – 5 × 7,5 = 48,5 кН,

М_р2^б = V_A^бz₂ – qz₂²/2 = 86 × 7,5 – 5 × 7,5²/2 = 504,4 кН × м;

Q_р3^б =  V_А^б – q z₃ =  86 – 5 × 11,25 = 29,8 кН,

М_р3^б = V_А^б z₃ – q z₃²/2 = 86 × 11,25 – 5 × 11,25²/2 = 651,1 кН × м;

Q_р4^б =  V_А^б – q z₄ =  86 – 5 × 15 = 11 кН,

М_р4^б = V_А^б z₄ – q z₄²/2 = 86 × 15 – 5 × 15²/2 = 727,5 кН × м;

Q_р5^б =  V_А^б – q z₅ =  86 – 5 × 18,75 = – 7,8 кН,

М_р5^б = V_А^б z₅ – q z₅²/2 = 86 × 18,75 – 5 × 18,75²/2 = 733,6 кН × м;

Q_р6^{б лев} = V_А^б – q z₆ =  86 – 5 × 22,5 = – 26,5 кН (левее силы Р),                                                                                                            Q_р6^{б прав} = V_A^б – qz₆ – Р = 86 – 5 × 22,5 – 45 = – 71,5 кН (правее силы Р),                                                                    М_р6^б = V_А^б z₆ – q z₆²/2 = 86 × 22,5 – 5 × 22,5²/2 = 669,4 кН × м;

Q_р7^б = – V_В^б + q(l – z₇) = – 109 + 5 × 3,75 = – 90,3 кН,

М_р7^б = V_B^б(l – z₇) – q(l – z₇)²/2 = 109 × 3,75 – 5 × 3,75²/2 = 373,6 кН × м;

Q_р8^б = – V_В^б = – 109 кН,  М_р8^б = 0.

Рассчитанные значения заносим в графы 10 и 11 таблицы 1.

Вертикальные составляющие опорных реакций основной системы V_A и V_B равны опорным реакциям соответствующей балки

кН, кН.

Внутренние усилия в основной системе от внешней нагрузки рассчитываем по формулам:

а) изгибающий момент  ;

б) поперечная сила         ;

в) продольная сила          .

Значения внутренних усилий от внешней нагрузки записываем в графы 12–14 таблицы 1.

Таблица 1.

№ сечения	Геометрические параметры оси арки					Усилия в о. с.           от Х1 = 1			Усилия от внешней нагрузки
									(q = 5 кН/м, Р = 45 кН)
									в соответствующей балке		в основной системе
	z, м	y, м	j, рад	sin j	cos j	__                                      М1 = – y,  м	__                                     Q1 = – sin j	__                                    N1 = – cos j	Mpб , кН × м	Qpб , кН	Mp = Mpб, кН × м	Qp = Qpб cos j, кН	Np = – Qpб sin j , кН
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
0	0,000	0,000	0,691	0,637	0,771	0,000	-0,637	-0,771	0,000	86,000	0,000	66,284	-54,795
1	3,750	2,713	0,555	0,527	0,850	-2,713	-0,527	-0,850	287,300	67,300	287,300	57,198	-35,463
2	7,500	4,650	0,392	0,382	0,924	-4,650	-0,382	-0,924	504,400	48,500	504,400	44,822	-18,526
3	11,250	5,813	0,204	0,202	0,979	-5,813	-0,202	-0,979	651,100	29,800	651,100	29,183	-6,031
4	15,000	6,200	0,000	0,000	1,000	-6,200	0,000	-1,000	727,500	11,000	727,500	11,000	0,000
5	18,750	5,813	-0,204	-0,202	0,979	-5,813	0,202	-0,979	733,600	-7,800	733,600	-7,639	-1,579
6 (слева)	22,500	4,650	-0,392	-0,382	0,924	-4,650	0,382	-0,924	669,400	-26,500	669,400	-24,490	-10,123
6 (справа)	22,500	4,650	-0,392	-0,382	0,924	-4,650	0,382	-0,924	669,400	-71,500	669,400	-66,078	-27,312
7	26,250	2,713	-0,555	-0,527	0,850	-2,713	0,527	-0,850	373,600	-90,300	373,600	-76,746	-47,583
8	30,000	0,000	-0,691	-0,637	0,771	0,000	0,637	-0,771	0,000	-109,000	0,000	-84,011	-69,449