Электрические цепи синусоидального тока. Основные сведения. Гармоническое воздействие

2. Лабораторная работа № 2

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ цепИ синусоидального тока

2.1. Основные сведения

Электрическими цепями синусоидального тока называются цепи, находящиеся под воздействием напряжения или тока синусоидальной формы (гармонического воздействия - ГВ). Как воздействие, так и все процессы (напряжения и токи) в такой цепи описываются синусоидальными функциями:

                                     (2.1)

где v(t) – мгновенное значение процесса (тока i(t) или напряжения u(t)); V_m – амплитуда  (U_m или I_m); ω = 2πf = 2π/T – угловая частота (рад/с), а f и T – соответственно частота (Гц) и период (с); ωt и ψ – соответственно текущая и начальная фаза (рад или град); Φ(t) = ωt + ψ – полная фаза гармонического процесса (рад или град).

Графически гармоническое воздействие можно представить в виде временной диаграммы (рис. 2.1), представляющей собой развертку во времени процесса вращения против часовой стрелки вектора длиной  V_m с угловой частотой ω из начального положения (начальной фазы) ψ > 0.

Помимо амплитудного значения периодические ток и напряжение также характеризуются действующим (среднеквадратичным) значением V (тока или напряжения). Действующий ток (напряжение) численно равен такому постоянному току (напряжению), при котором за время, равное одному периоду периодического воздействия, в проводнике с сопротивлением R выделяется такое же количество тепловой энергии, как и при переменном токе (напряжении). Действующие значения для синусоидальных процессов в  раз меньше амплитудных.

      (2.2)

Описание синусоидальных процессов в виде (2.1) и соответствующие им временные диаграммы просты и наглядны, однако пользоваться ими при расчетах неудобно. Расчет цепей синусоидального тока облегчается, если перейти к описанию процессов векторами на комплексной плоскости (или комплексными числами) и использовать комплексный метод расчета. На рис. 2.2 на комплексной плоскости показан вектор  гармонического воздействия вида (2.1). Комплексная величина (в литературе используется термин «текущий комплекс») определяет мгновенное текущее значение синусоидальной функции v(t) и, как любое комплексное число, может быть представлено в трех формах (рис. 2.2):

алгебраической:

;                                                                                         (2.3)

тригонометрической:

,                                                 (2.4)

где   

показательной:

,        (2.5)

где .

Величину называют комплексной амплитудой (комплексом) ГВ (векторпоказан на рис. 2.2). Она несет информацию только об амплитуде  и начальной фазе ψ синусоидального воздействия, что при известной частоте ω достаточно для описания синусоидального процесса и анализа свойств электрической цепи при гармоническом воздействии.

Очевидно, что мгновенное значение v(t) и комплексная амплитуда связаны соотношением:

.                                          (2.6)

Рассмотрим реакцию пассивных идеализированных элементов на гармоническое воздействие.

Резистивный элемент. Пусть через резистор с сопротивлением R протекает ток i(t) = I_m sin(ωt + ψ_i). Тогда в соответствие с законом Ома падение напряжения на сопротивлении R равно

                           (2.7)

Из (2.10) следует, что синусоидальные ток и напряжение на резистивном элементе совпадают по фазе, а амплитуда напряжения равна  U_mR = R∙I_m.

Емкостной элемент. Напряжение на емкости C при протекании через нее синусоидального тока i(t) определяется по формуле

         (2.8)

где ψ_i - π/2 = ψ_u – начальная фаза напряжения на конденсаторе, а величина 1/ωС = x_C (Ом) – сопротивление емкости С на частоте ω.

Из (2.11) следует, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от протекающего через него тока  на угол φ = -π/2, а амплитуда синусоидального напряжения равна U_mC = I_m/(ωС) = x_C·I_m.

Индуктивный элемент. Напряжение на индуктивности равно

          (2.9)

где ψ_i + π/2 = ψ_u  – начальная фаза напряжения на индуктивности, а величина ωL = x_L (Ом) – сопротивление индуктивности L на частоте ω.

Следовательно, напряжение на индуктивности опережает по фазе ток  на угол φ = π/2, а амплитуда U_mL = ωL·I_m = x_L·I_m.

На рис. 2.3, а изображена электрическая цепь, состоящая из трех последовательно соединенных пассивных элементов R, L и C (последовательный контур), к которой приложен синусоидальный источник э.д.с. e(t) = u(t). Эпюры тока в цепи и напряжений на элементах цепи, полученные с помощью программы Micro-Cap, приведены на рис. 2.3, б. Они показывают, что синусоида напряжения на сопротивлении u_R совпадает по фазе с синусоидой протекающего тока i, а синусоиды u_C и u_L сдвинуты относительно синусоиды тока i на угол π/2 соответственно вправо (отставание) и влево (опережение). Между собой напряжения  u_C и u_L находятся в противофазе. Как видно из рис. 2.4, б начальная фаза входного напряжения u(t) равна нулю      (ψ_u = 0), а фаза входного тока ψ_i < 0, поэтому фазовый сдвиг между напряжением и током φ = ψ_u – ψ_i >0, т.е. приложенное к цепи синусоидальное напряжение u(t) опережает по фазе протекающий в цепи ток на угол φ.

На основании 2-го закона Кирхгофа для схемы рис. 2.4 запишем