Уравнения параболического типа

Лекция 6. Уравнения параболического типа.

Определение. Классическим решением начально-краевой задачи называется функция , непрерывная вместе с первыми производными по координатам в замкнутом цилиндре, имеющая непрерывные производные первого порядка по  и второго по координатам в открытом цилиндре, удовлетворяющая уравнению, начальному условию и граничному условию.

Необходимым условием существования классического решения начально-краевой задачи является условие согласования начального и граничного условия.

Принцип максимума.

Решение однородного уравнения теплопроводности

непрерывное в замкнутом цилиндре во внутренних точках этого цилиндра не может принимать значений, больших, чем максимальное из начального и граничного значений.

Доказательство

Нужно доказать, что если 

То

От противного

Пусть в некоторой внутренней точке  функция  достигает своего максимального значения, т. е.

Введём вспомогательную функцию.

 если

Т.к. функция  непрерывна в замкнутом цилиндре, то она должна в некоторой внутренней () достигать своего максимального значения, тогда

Для точки  выполняются условия максимума