Специальные функции, цилиндрические функции

Лекция 3. Специальные функции.

В предыдущей лекции мы рассмотрели некоторые физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных, а так же обсудили их классификацию. Уравнения каждого типа обладают рядом специфических свойств. Однако существуют и общие методы решения применимые для уравнения всех типов. Один из таких методов – метод разделения переменных или метод Фурье. Прежде чем изложить метод разделения переменных решения начально-краевых задач, при котором естественно возникает необходимость рассмотрения специальных функций, являющихся решением задач Штурма-Лиувиля, изучим свойства наиболее часто встречающихся спец.функций.

1.  Цилиндрические функции.

Уравнением Бесселя или уравнением цилиндрических функций, называется уравнение вида

          (1)

Это уравнение может быть записано и в другой эквивалентной форме

.

Напомним свойства гамма-функции.

Гамма-функцией называется интеграл

- комплексное число, реальная часть которого положительна.

а) , .

б) , если -натуральное число, то

в)

Решение уравнения Бесселя можно искать в виде обобщённого степенного ряда

Подставляя это выражение в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим следующие рекуррентные соотношения

Из первого уравнения следует, что , рассмотрим случай , тогда