Специальные функции, цилиндрические функции, страница 2

Выберем  в виде

тогда

Рассмотрим ряд

(2)

Это ряд в силу признака Даламбера абсолютно сходится для любых .

Определение. Ряд (2) называется функцией Бесселя порядка .

 очевидно является частным решением уравнения (1).

Если  и  не является целым числом, то проделав аналогичные выкладки получим

Определение. Ряд называется функцией Бесселя порядка .

Рекуррентные формулы.

Прямой проверкой легко убедится в справедливости соотношений

Частный случай

Определение. Функциями Ханкеля первого и второго рода называются функции, определяемые интегралами

,

где контуры интегрирования имеют вид изображённый на рисунке