Значение и место изучения показательной и логарифмической функций

Развитие науки и практики постоянно предъявляет особые требования к содержанию и преподаванию основ математики в средней школе. Совершенствование школьного математического образования есть процесс объективный и непрерывный. При этом сохраняются многие стороны педагогического наследия как в определении содержания, так и в методике преподавания. В первую очередь это относится к базисным понятиям математики, одним из которых является понятие функции, и системам дидактических принципов и методов обучения. Новые математические основы и использование современных психолого-педагогических наук требуют самого серьёзного пересмотра существующих дидактических систем, в частности методики преподавания функций в средней школе.

Учение о функциях в школьном курсе математики занимает наиболее важное место, и оно строится на теоретико-множественной основе. Избран единый подход к изучению функций. Вводится общее определение понятия функции в курсе алгебры VI класса как определённый вид соответствия между двумя множествами: «Соответствие между множеством X и множеством Y, при котором каждому элементу множества X соответствует один и только один элемент множества Y, называется функцией». В дальнейшем сделан упор на раскрытие содержания и объема числовых и точечных функций.  Изучение Функций в школе является органически составной частью процесса обучения математике. Функции являются объектом изучения, и им предоставляется большое место применения при изучении других математических понятий.

§1. Значение и место изучения показательной и логарифмической функций. 

В природе существуют такие явления, которые не могут быть описаны с помощью алгебраических функций. Но с достаточной точностью эти процессы могут быть описаны с помощью трансцендентных функций, особую роль среди которых занимают показательная и логарифмическая функции.

Показательная функция является математической моделью обширного круга процессов, имеющих общее название процессов естественного роста или убывания величин (изменение численности населения, скорость распада радиоактивных веществ, скорость движения тела в сопротивляющейся среде, изменение атмосферного давления, скорость распространения бактерий и др.). Таким образом, с помощью трансцендентных функций, решаются задачи различных областей науки: физики, химии, биологии, экономики и др.

Приведём основные моменты из традиционной и новой постановки преподавания показательной и логарифмической функций.

До программы Колмогорова  (1976 г.) данные функции изучались в 10 классе. Сведения, относящиеся к степеням, показательной и логарифмической функциям, излагались в следующем порядке:

1.  Определялась степень положительного числа с натуральным показателем, затем целым, далее с рациональным и, наконец, с любым действительным показателем и на каждом из этих этапов устанавливались основные свойства степени:

2.  Определялась показательная функция  и рассматривались её важнейшие свойства;

3.  Логарифмическая функция  определялась как обратная по отношению к показательной и свойства её выводились из соответствующих свойств показательной функции

Следует заметить, что введение дробных показателей шло на основе степенной функции, и до начала изучения показательной функции изучалась степенная функция с произвольным показателем.

С внедрением программы Колмогорова показательная функция и десятичные логарифмы начинают изучаться в 8 классе, и завершается изучение в 10 классе обобщением сведений о данных функциях, и изучаются их производные. Введение дробных показателей степени связано с построением графика показательной функции при изучении в 8 классе темы «Дробные показатели степени. Показательная функция и логарифмы». При этом исходят из двух свойств степени с целым показателем:

1. 

2.  При  степень возрастает с возрастанием x, при  - убывает.

Из предположения, что эти свойства сохраняются при всех значениях x функции, обладающей свойствами 1 и 2, принято без доказательства. Логарифмическая функция вводится как обратная функция к показательной, и её свойства рассматриваются как следствия свойств показательной функции.

В настоящее время в последнем издании методика изучения этих двух глав изменена:

1.  Степень с действительным показателем перенесена в первую главу «Действительные числа».

2.  Глава «Показательная функция» дополнена системами показательных уравнений и неравенств.

§2. Технология изучения показательной и логарифмической функций.

п. 1.1. Показательная  функция и её свойства.

Начало изучения показательной функции подготавливается изучением многих вопросов,  и здесь важно учесть те вопросы, которые готовят теоретическую базу. К таким вопросам в первую очередь следует отнести общее понятие функции, определения элементарных функций. Степенную функцию с натуральным показателем и функцию, ей обратную, корень любой степени.

Учащиеся должны знать и уметь пользоваться основным свойством степени с целым показателем и его следствиями:

Основное свойство:

Следствия: 1)

2)