Областью изменения функции
, заданной на множестве R, является множество
; её графиком является кривая линия,
которой принадлежат все точки графика показательной функции с областью
определения Q; называют её показательной функцией
на множестве R. Тем самым допускается, что степени
с иррациональным показателем имеют смысл. При закреплении следует выполнить
упражнения вида:
1) Построить график функции при а=3 и по её графику найти:
а) значение y при x=0,5; 1,4; -1
б) значение x при y=0,5; 1,4; 1,7
2) Пользуясь графиком функции,
заданной формулой , представить, если это возможно,
числа -1,5; -1; 0; 1; 1,2 в виде степени с основанием 3.
На ранее рассмотренных и этих примерах учащиеся должны подойти к следующему определению показательной функции:
- функция, которую можно задать
формулой вида где x иy– переменные, а – положительное
число, называется показательной.
Аналитическое и графическое исследование показательной функции должно так же проводиться во взаимной связи. Так, до построения графика функции можно установить наличие нулей, наибольшего и наименьшего значений, промежутков знакопостоянства и монотонности функции. А затем построить график и дать этим свойствам графическую интерпретацию и с помощью графика установить и другие свойства показательной функции. Учащиеся должны уметь строить графики функций и по ним формулировать следующие основные свойства:
· -
область определения функции;
· -
область значений функции при
, {1} - область значений
функции при а=1;
· Функция при а>1- возрастающая, при 0<а<1 – убывающая, при а=1 – монотонна;
· При x=0 значение функции равно 1;
· При а>1: если x>0, то и
если x<0, то
.
По всем перечисленным свойствам,
кроме свойства 2 при , учащиеся должны уметь проводить
аналитические обоснования на случая множества Q на основе определений и свойств степеней с целыми и дробными
показателями. Кроме того, учащиеся должны уметь пользоваться тем, что графики
показательных функций с
и
симметричны относительно оси ординат. С
этой целью выполнять упражнения вида:
- Постройте графики и исследуйте функции, заданные формулами:
а) и
; б)
и
Раскрытию широких применений
показательной функции будет способствовать знакомство учащихся с тем, что любая
геометрическая прогрессия является функцией, заданной формулой на множестве натуральных чисел.
п. 1.2 Показательные уравнения и неравенства.
При изучении главы «Показательная функция» учащиеся знакомятся со следующими типами показательных уравнений и неравенств:
1. Показательные уравнения:
а) Уравнения вида
На основании определения степени с
нулевым показателем решение уравнения сводится
к уравнению
, где f(x) – функция, определённая на множестве R. Решая последнее уравнение
относительно x, найдём
корни уравнения, удовлетворяющие уравнению
. Верно
и обратное: если выполняется равенство
, то
выполняется равенство
.
Пример:
Решение: По определению степени с нулевым показателем: : x2-5x+6=0, откуда x1=2, x2=3. Ответ: {2;3}.
б) Уравнения вида:
Левая и правая части уравнения
приведены к одному основанию. В этом случае решением уравнения такого типа
будут корни уравнения . Действительно, разделив
уравнение
на
, где
, получим
, или
, откуда следует, что
,
.
Пример:
Решение: Так как , то
и
, D= 25 + 56 = 81
и
Ответ: {; 1}.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.