Значение и место изучения показательной и логарифмической функций, страница 2

Уметь проводить доказательство монотонности степенной функции, заданной формулой  с натуральным показателем при  - аналитически давать графическую иллюстрацию:

Дано:

Доказать: f – возрастающая.

Доказательство:

f – возрастающая, если:

, то есть: ,  

Аналогичные требования предъявляются к усвоению учащимися  свойств корней n-й степени и арифметического корня. Так, из тождества  при  учащиеся уметь выводить следующие свойства корня n-й степени:

1)

2)

3)

Уметь доказывать аналитически и проводить графическую иллюстрацию следующего свойства корня n-й степени:

- Значения корня  при  возрастают с возрастанием значений x.

Дано: ,

Доказать:

Доказательство:

1) - по определению арифметического корня.

2) , так как из

Итак: .

Надо подчеркнуть, что доказательство данного свойства корня n-й степени есть суть доказательства монотонности функции, заданной формулой  при .

Теперь прежде чем перейти к определению степени с рациональным показателем, следует ввести понятие показательной функции с областью определения Z.

Учащимся необходимо предложить построить графики нескольких функций, заданных формулой вида: , где x и y – переменные и , при различных значениях , кроме =0. Надо также рассмотреть случаи: а<0, 0<a<1, a=1, a>1. В начале нужно составить таблицы значений переменных x и y, вычисленных по формуле (листки с таблицей можно составить заранее):

x	y	x	y	x	y	x	y
-3	-0,125	-3	8	-3	1	-3	0,125
-2	0,25	-2	4	-2	1	-2	0,25
-1	-0,5	-1	2	-1	1	-1	0,5
0	1	0	1	0	1	0	1
1	-2	1	0,5	1	1	1	2
2	4	2	0,25	2	1	2	4
3	-8	3	0,125	3	1	3	8

1. График функции :         2. График функции :

         

3. График функции :             4. График функции :

       

На основе анализа соответствующих таблиц и графиков учащихся нужно подвести к предположению, что справедливы следующие свойства функций:

1) При a>0 функция, заданная формулой , где  , принимает положительные значения.

2) При a>1 функция, заданная формулой , где  , возрастает; при 0<a<1 – убывает.

Затем провести доказательство этих свойств, опираясь на свойства степени с целым показателем. При ведении записи доказательства учащиеся должны приводить использованное свойство степени с целым показателем или его существенные признаки, а не указывать только его порядковый номер. Например, запись доказательства второго свойства при a>1 можно сформировать так:

Дано:

Доказать: f – возрастающая.

Доказательство:

1.   и .

2.  f – возрастающая, если для любых значений аргумента из , то есть из .

3.  , так как  при  и .

4.