Методика изучения производной. Задачи, приводящие к понятию производной

Методика изучения производной.

С реформой школы, введением программы А.Н.Колмогорова в старших классах дисциплина «Алгебра и элементарные функции» стала называться «Алгебра и начала анализа». Одним из важнейших понятий математического анализа является понятие, производной, изучаемой в начале учебного года в 11 классе. Важность и полезность понятия производной объясняется возможностью применения этого понятия к широкому кругу задач.

Основная цель изучения данной темы – знакомство с новым математическим аппаратом и не более, в связи с чем в последнем издании АиНА эта тема очень сжата, большинство фактов, формул дается без вывода. Преследуется единственная цель: пополнить арсенал математического аппарата и продемонстрировать его применение в основном при исследовании свойств функций и построение их графиков.

В последнем издании учебника АиНА определение отличается от традиционного через предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Ныне: lim разностного отношения, эта формулировка значительно проигрывает. Последнее издание учебника отличается от предыдущих, изменение в изложении темы сделана в лучшую сторону. Все формулы производных элементарных функций выводятся очень доступно, введено понятие критических точек, стационарных точек. Введено понятие предела функции в точке непрерывности функции, но нет вывода .

1.  Задачи, приводящие к понятию производной.

Введению понятия производной функции предшествует рассмотрение ряда задач, которые показывают важность предела некоторого вида и тем самым подчеркивают необходимость его изучения. Эти задачи должны быть такими, чтобы при их решении накопилось достаточно материала для обобщений. Они должны быть разнообразными по сюжету; хорошо, если в роли аргумента будут выступать различные переменные, а не только время, как это часто бывает в учебной литературе.

Число задач, которые решаются до введения понятия производной, не должно быть очень велико, т.к. их решение основано на вычислении  громоздко и однообразно. Достаточно 2-3 задач, различных по сюжету.

Задача о теплоемкости тела.

Если температура тела с массой в 1 кг. повышается от  до , то это происходит за счет того, что телу сообщается определенное количество тепла Q, значит Q есть функция температуры T, до которой тело нагревается: Q=Q(T).

Пусть температура тела повысилась с T до T+T. Количество тепла Q, затраченное для этого нагревания, равно Q=Q(T+T)-Q(T). Отношение  есть количество тепла, которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 1⁰ при изменении  до . Это отношение называется средней теплоемкостью данного тела в температурном интервале [T, T+T] и обозначается С_ср.

Так как средняя температура не дает представления о теплоемкости для любого значения температуры T, то вводится понятие теплоемкости при данной температуре T (в данной точке T).

Теплоемкостью при температуре T (в данной точке T) называется предел отношения приращения количества тепла Q к приращению температуры T при условии, что T0. Он обозначается  С_мгн =.

Задача №2. О скорости химической реакции. Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество вещества, вступившее за время t, есть функция от t, т.е. m(t). Определить скорость вступления вещества в момент t₀.

[t₀, t₀+t]          V_ср=

V_мгн=

Подводя итог, следует обратить внимание учащихся, что в рассмотренных примерах речь шла о понятии теплоемкости ела при данной температуре как скорости изменения количества тепла при изменении температуры. О скорости химической реакции в момент времени как скорости изменения количества вещества, участвующего в этой реакции, с течением времени.

Отмечается, что введение всех рассмотренных выше понятий проводилось с помощью предела особого вида, а именно предела отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что x0. После этих задач можно предложить учащимся задачу о нахождении мгновенной скорости изменения функции.

Задача №3. Дать определение скорости изменения функции в точке x₀, т.е. мгновенной скорости.

По аналогии с задачами №1,2 назовем на [x₀;x₀+x] средней скоростью изменения функции отношение , мгновенной скоростью функции в точке x₀ назовем .

Таким образом, производная функции в точке есть ее мгновенная скорость.

В связи с изменением целевой установки, связанной с изучением сокращено, и учащиеся не проводят различия между двумя понятиями: производная функции и производная функции в точке, со вторым понятием учащиеся встречаются только в упражнении 783.

Желательно при ознакомлении учащихся с понятием производной заострить их внимание на том факте, что производная функции в точке есть число (и выполнить 2-3 упражнения), а производная функции есть  функция.