Методика изучения производной. Задачи, приводящие к понятию производной, страница 2

Удачным в этом отношении учебником является АиАН 1980 г. (Колмогоров А.Н., Абрамов, Вейц, Шварцбурд, Ивлев Б.М., Иванов-Мусатов).

2.  Некоторые рекомендации к изучению производной.

Изучая правила дифференцирования, учащиеся знакомятся с двумя правилами и их выводом:

        (1)

                        (2)

 и . Правило дифференцирования сложной функции за исключением случая, когда аргументом сложной функции является линейная функция, учащиеся не изучают. В выпускных же экзаменационных работах задания с использованием этих правил встречаются. Поэтому учителю необходимо дать учащимся эти правила без вывода и отработать их на конкретных примерах.

Геометрическое истолкование производной функции в точке связано с понятием касательной к графику, прежде всего в этой точке. Чтобы выяснить эту связь, прежде всего необходимо дать определение касательной к графику функции в точке.

Слово «касательная» может ассоциироваться у учеников с прямой, имеющей одну общую точку с кривой, т.к. они проводили касательную к окружности. Однако для функции  ученики не назовут  касательной ось oy (одна общая точка)  и не сомневаются, что ею будет ось ox. Не колеблясь, ученики строят касательные к синусоиде в точке с абсциссами . Не вызывает удивление и случай, когда кривая в окрестности точки касания располагается по одну сторону от касательной. И лишь случай, когда кривая в окрестности точки касания лежит по обе стороны от касательной, вызывает на первых порах недоумение.

Поэтому в число примеров, предшествующих формулировке определения касательной, необходимо включить такие, чтобы можно было отсеять несущественные признаки и выявить сущность касательной к графику функции.

                                                 а)                           б)                                 в)

 

                                                 

Существенным признаком касательной является «тесное примыкание» ее к кривой в окрестности точки касания.

Ведь именно, представление о функции как о линейной в достаточно малой окрестности точки – основная идея дифференциального исчисления.

Упражнения по теме производная вызывают затруднения у учащихся, особенно:

- нахождение производной функции по ее определению;

- составление уравнения касательной к кривой в точке x₀ (№429);

- найти: под каким углом пересекаются графики функции (№423);

- текстовые задачи на max и min (с геометрическим содержанием) №451-461

К таким упражнениям желательно составить алгоритм решения и с помощью алгоритма отработать навыки их решения.

Примеры алгоритмов к упражнениям этой главы смотри «Повышение эффективности обучения математики в школе». Составитель Г.Д.Глейзер, М: Просвещение, 1989 г.

№459

Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма одного катета и гипотенузы равна , найти треугольник с наибольшей площадью.

План решения

Применение плана

1. Строим чертеж. 2. Записываем исходную формулу для вычисления величины, экстремальное значение которой требуется найти. 3. Вводим переменную величину x и выражаем через нее значения всех величин исходной формулы. 4. Подставляя найденные значения величин в формулу, представляем ее как функцию аргумента x. 5. Задаем (по смыслу задачи) область определения функции 6. Функцию аргумента x исследуем на экстремум на найденном числовом промежутке. 7. Записываем ответ.

Обозначим стороны буквами Пусть , тогда    - не является решением,                    +      max

Один из вариантов вывод

Лемма: Если функция f дифференцируема в точке x₀, то .

Доказательство: .

Следствие: функция, дифференцируемая в точке x₀, непрерывна в этой точке.

Теорема: если U и V – дифференцируемы в точке x₀, то их произведение дифференцируемо в этой же точке и .

_______________________

Теорема: если U и V дифференцируемы в точке x₀, функция , то

1)

2)

3)

4.082.  Найти наименьшее из значений параметра a, для которых прямая  касается параболы .

4.088.  Указать большее из значений параметра b, для которых прямая  касается параболы .

4.090 Найти наименьшее значение функции  на множестве решений системы неравенств

4.091 При каком значении параметра a прямая  касается графика функции

П. Если прямая  является касательной к параболе  в точке с абсциссой О, то  равно (-1;1;5;-5).

П.В какой точке касательная к графику функции  параллельна прямой