Частотные электрические фильтры. Основные теоретические положения, страница 2

Рассчитать мгновенное значение выходного напряжения, исходя из условия, что на всех гармониках фильтр согласован с нагрузкой. Каким при этом должно быть сопротивление нагрузки?

Решение

Из двух индуктивностей и одной ёмкости можно собрать только Т-схему низкочастотного фильтра (рис. 5.43). При этом расчётные параметры фильтра  C =C₂ = 10 мкФ,

L/2 =L₁ = 0,5 Гн,        L= 2L₁ = 1 Гн.   

Граничная частота фильтра w₀ =,  f₀ === 100,7 Гц. 

В режиме согласованной нагрузки

U₁ = U₂e ^Г = U₂e ^а·e ^jb,       Z_H = Z_CТ =, где  x = –  относительная частота.

На частоте первой гармоники    x === 0,4965, характеристическое сопротивление (оно же сопротивление нагрузки в согласованном режиме)    Z_H1 == 274,5 Ом – активное сопротивление. Заметим, что на этой частоте параметр нагрузки

k= ρ=== 316 Ом > Z_H1 = 274,5 Ом.

Частота первой гармоники  f₁ < f₀  и эта гармоника принадлежит зоне прозрачности, на которой

a₁ = 0,      а     b₁ = arccos(1 - 2x ²) = arccos(1 – 2·0,4964 ²) = 59,5°.

По условию  U_1m = U_1m·e ^j·Yu1 = 100 B,  тогда

U_2m = U_1m·e ^-Г = 100e ^–j59,5° B.

Мгновенное значение выходного напряжения первой гармоники

u₂⁽¹⁾(t) = Im(U_2m·e ^jwt) = 100·sin(wt – 59,5°) B.

Для третьей гармоники  x ==== 1,49.

Сигнал этой частоты находится в полосе затухания ФНЧ, коэффициент фазы при этом  b₃ = p = 180°, коэффициент затухания

a₃ = Arch(2x ² – 1) = Arch(2·1,49 ² – 1) = 1,906 Нп.

Комплексная амплитуда выходного напряжения

U_2m = U_1m·e ^-Г = -33,3e ^–1,906·e ^j180° = 4,95 B, мгновенное значение выходного напряжения

u₂⁽³⁾(t) = Im(U_2m·e ^j3wt) = 4,95·sin(3wt) B.

Характеристическое сопротивление фильтра на третьей гармонике

Z_H3 == j349 Ом  - индуктивное.

Выходное напряжение фильтра при согласованных сопротивлениях  нагрузки как на частоте w, так и частоте 3w

u₂(t) = u₂⁽¹⁾ + u₂⁽³⁾ = 100·sin(wt – 59,5°) + 4,95·sin(3wt) B.

Это напряжение практически синусоидально, так как третья гармоника подавлена:

U_2m⁽³⁾ = 4,95%U_2m⁽¹⁾.

ЗАДАЧА 5.45. Рассчитать расчётные и конструктивные параметры П-схемы низкочастотного фильтра типа k, работающего на активную нагрузку  r_H= 200 Ом  и имеющего граничную частоту  f₀ = 150 Гц.

Решение

Принимаем   k == r_H,    w₀ = 2pf₀ = 6,28·150 = 942 c ^-1=, получаем расчётные параметры фильтра   L === 0,425 Гн,

С === 1,06·10 ^-5 Ф = 10,6 мкФ.

П-схема фильтра низкой частоты приведена на рис. 5.44. Конструктивные параметры фильтра

L = 0,425 Гн,   ½С = 10,6/2 = 5,3 мкФ.

ЗАДАЧА 5.46. Фильтр высоких частот собран из двух катушек с индуктивностью L₂ = 0,13 Гн и одного конденсатора ёмкостью С₁= 10 мкФ. Фильтр подключен в сеть частоты  f = 50 Гц с несинусоидальным напряже-нием   u₁(t) = 100·sinwt – 33,3·sin3wtB.

Привести схему ФВЧ, рассчитать выходное напряжение, исходя из условия, что на всех гармониках фильтр согласован с нагрузкой.

Ответ:  рис. 5.45,

u₂(t) = -7,35·sinwt – 33,3·sin(3wt + 90°) B.

ЗАДАЧА 5.47. В системе связи по распредели-тельным сетям (до 1000 В при частоте 50 Гц) передаю-щую и приёмную аппаратуру защищают от напряжения сети уравновешенным Т-образным высокочастотным фильтром типа k (рис. 5.46) (передача сигналов связи осуществляется модулированными колебаниями на не-сущей частоте, большей, чем частота напряжения сети).

Ёмкость каждого конденсатора  С₁= 0,15 мкФ, характеристическое сопротивление фильтра с увеличением частоты приближается к  r = 600 Ом. Найти граничную частоту фильтра и коэффи-циент затухания на частоте сети.

Решение

Определим расчётный параметр фильтра С: при последовательном соединении двух ёмкостей одного плеча Т-схемы четырёхполюсника

С_Э = ½С₁, что соответствует 2С типовой схемы высокочастотного фильтра, откуда расчётная величина  С = ½С_Э = ¼С₁= 0,15/4 = 0,0375 мкФ.

Параметр нагрузки  k == r,  откуда расчётная индуктивность фильтра  L= r ²·С = 600 ²·0,0375·10 ^-6 = 13,5·10 ^-3 Гн.

Граничная частота фильтра (частота среза)

w₀ =,  f₀ === 3,54·10 ³ Гц. 

Коэффициент затухания на частоте сети

a = Arch( – 1) = Arch(2– 1) = Arch= 9,906 Нп.

При напряжении сети  U₁= 1000 B частоты  f= 50 Гц и согласованной с фильтром нагрузке   U₂ === 0,05 B.