Математика \ Вычислительная математика

Вычислительная схема Эйткена. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями. Интерполирование и экстраполирование данных

Страницы работы

9 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Содержание работы

Алгебраический многочлен -й степени

(2.7.1)

называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями. Очевидна аналогия формулы (2.7.1) с формулой Тейлора. Действительно, так как по теореме 2.7 то Формулы подраздела 2.4о погрешности интерполяции в точке , не являющейся узловой, можно уточнить следующим образом: (2.7.2)

В практическом плане формула (2.7.1) обладает рядом преимуществ перед формулой Лагранжа. Если, например, по каким-либо причинам необходимо увеличить степень интерполяционного многочлена на единицу, добавив в таблицу еще один узел , то при использовании формулы Лагранжа это приведет не только к увеличению числа слагаемых, но и к необходимости вычислять каждое из них заново. В то же время для вычисления по формуле Ньютона (2.7.1) достаточно добавить к лишь очередное слагаемое, так как Если величина мала, а функция достаточно гладкая, то справедлива оценка: из которой, с учетом предыдущего равенства, следует, что Тогда величину

(2.7.3)

можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции.

2.8. Вычислительная схема Эйткена*

Согласно этой схеме интерполяционные многочлены любого вида вычисляются последовательно по формулам

(2.8.1)

и так далее. Интерполяционный многочлен -й степени, принимающий в точках значения запишется следующим образом:

(2.8.2)

Действительно, из первой формулы (2.8.1) при сразу получаем

Остальные формулы проверяются аналогично. Кроме того, мы получили, что . Это действительно так по теореме о единственности интерполяционного многочлена -й степени. Таким образом, тождественно совпадают и являются по сути лишь разной формой записи единого интерполяционного многочлена -й степени.

Схема Эйткена применяется там, где не нужно общее выражение , а нужно лишь его значение при конкретных , и при этом значения функции даны в достаточно большом числе узлов. Вычисления по схеме Эйткена удобно вести с помощью таблицы, аналогичной таблице конечных или разделенных разностей:








...	...

Вычисления прекращают, если или если последовательные значения совпадут в пределах заданной точности.

Пример. Вычислить по схеме Эйткена в точке , если задана таблицей:

	1.0	1.1	1.3	1.5	1.6
	1.000	1.032	1.091	1.145	1.170

Составим таблицу и заполним по формулам (2.8.1) ее столбцы, начиная с четвертого:

Следующий столбец таблицы заполняется аналогично:

На этом вычисления можно прекратить, так как совпадают до третьего знака, следовательно, с точностью Итоговая таблица с результатами вычислений приведена ниже.


0	1.0	1.000	-0.15
				1.048
1	1.1	1.032	-0.05		1.048
				1.047
2	1.3	1.091	0.15
				1.050
3	1.5	1.145	0.35
				1.057
4	1.6	1.170	0.45

2.10. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями

Если интерполируемая функция задана на таблице с постоянным шагом , то можно использовать связь между конечными и разделенными разностями: В этом случае многочлен Ньютона можно записать несколько в ином виде:

Пусть

Преобразуем разделенные разности в конечные: тогда

и так далее.

Тогда многочлен Ньютона можно переписать в следующем виде:

(2.10.1)

Эту формулу называют интерполяционным многочленом Ньютона с конечными разностями для интерполяции вперед. В ней используются только конечные разности, расположенные в верхней косой строке таблицы конечных разностей. Если использовать разности нижней косой строки, то аналогично получим многочлен Ньютона с конечными разностями для интерполяции назад:

(2.10.2)