Вычислительная схема Эйткена. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями. Интерполирование и экстраполирование данных

Алгебраический многочлен  -й степени

                  (2.7.1)

называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями. Очевидна аналогия формулы (2.7.1) с формулой Тейлора. Действительно, так как по теореме 2.7    то  Формулы подраздела 2.4о погрешности интерполяции   в точке , не являющейся узловой, можно уточнить следующим образом:                                                                                        (2.7.2)

В практическом плане формула (2.7.1) обладает рядом преимуществ перед формулой Лагранжа. Если, например, по каким-либо причинам необходимо увеличить степень интерполяционного многочлена на единицу, добавив в таблицу еще один узел , то при использовании формулы Лагранжа это приведет не только к увеличению числа слагаемых, но и к необходимости вычислять каждое из них заново. В то же время для вычисления  по формуле Ньютона (2.7.1) достаточно добавить к  лишь очередное слагаемое, так как  Если величина   мала, а функция  достаточно гладкая, то справедлива оценка:  из которой, с учетом предыдущего равенства, следует, что Тогда величину

                                                          (2.7.3)

можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции.

2.8. Вычислительная схема Эйткена*

Согласно этой схеме интерполяционные многочлены любого вида вычисляются последовательно по формулам

                                    (2.8.1)

и так далее. Интерполяционный многочлен -й степени, принимающий в точках   значения   запишется следующим образом:

                                        (2.8.2)

Действительно, из первой формулы (2.8.1)  при сразу получаем

Остальные формулы проверяются аналогично. Кроме того, мы получили, что  . Это действительно так по теореме о единственности интерполяционного многочлена -й степени. Таким образом,   тождественно совпадают и являются по сути лишь разной формой записи единого интерполяционного многочлена -й степени.

Схема Эйткена применяется там, где не нужно общее выражение , а нужно лишь его значение при конкретных , и при этом значения функции даны в достаточно большом числе узлов. Вычисления по схеме Эйткена удобно вести с помощью таблицы, аналогичной таблице конечных или разделенных разностей:

Вычисления прекращают, если  или если последовательные значения   совпадут в пределах заданной точности.

Пример. Вычислить   по схеме Эйткена в точке , если  задана таблицей:

Составим таблицу и заполним по формулам (2.8.1) ее столбцы, начиная с четвертого:

Следующий столбец таблицы заполняется аналогично:

На этом вычисления можно прекратить, так как   совпадают до третьего знака, следовательно,   с точностью   Итоговая таблица с результатами вычислений приведена ниже.

2.10. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями

Если интерполируемая функция задана на таблице с постоянным шагом  , то можно использовать связь между конечными и разделенными разностями:   В этом случае многочлен Ньютона можно записать несколько в ином виде:

Пусть       

Преобразуем     разделенные     разности     в     конечные:           тогда

 и так далее.

Тогда многочлен Ньютона можно переписать в следующем виде:

  (2.10.1)

Эту формулу называют интерполяционным многочленом Ньютона с конечными разностями для интерполяции вперед. В ней используются только конечные разности, расположенные в верхней косой строке таблицы конечных разностей. Если использовать разности нижней косой строки, то аналогично получим многочлен Ньютона с конечными разностями для интерполяции назад:

                     (2.10.2)

Пример. Вычислить   в точках  , используя формулы (2.10.1) и (2.10.2)  при  , если