Сборник задач по дисциплине "Теоретическая механика". Часть 1 (Условия 28 задач и решение задач № 1-20), страница 5

Ответ: , .

10. Скорость точки D зацепления колес (рис. 3.17) . Учитывая направления векторов скорости точек D и В мгновенным центром скоростей шатуна АВ и колеса 2 является точка . Угловая скорость

. Расстояние

т.е. . Скорость точки В

.

Ускорение точки В ищем, взяв за полюс точку А.

                                                      (3.18)

Ускорение точки А как точки, принадлежащей вращающемуся стержню . Осестремительное ускорение  (рис. 3.18). Угловая скорость

, и .

Вращательное ускорение

.

Скорость точки D можно представить как . Слагаемые, входящие в последнее равенство, сонаправлены, т.е. .

Дифференцированием последнего равенства по времени, имеем , или  (для угловых ускорений). Соответственно .

Осестремительное ускорение ,

. Вращательное ускорение , . Проецируя (3.18) на прямую  и на перпендикуляр к ней получим соответственно

Решая последнюю систему уравнений относительно  находим , т.е. ускорение точки В направленно по горизонтали вправо.

Ответ: , .

11. Рассмотрим движение точки В, принадлежащей стержням АВ и BD одновременно (рис. 3.19). Тогда скорость этой точки

        (3.19), где скорости поворота относительно полюса соответственно

. Проецируя (3.19) на оси  и  получим систему уравнений для нахождения модулей скоростей поворота точки В относительно полюсов A и D:

Тогда , а угловые скорости стержней

, , , .

Для нахождения угловых ускорений стержней АВ и BD рассмотрим ускорение точки В, взяв также за полюс точки А и D.

                                   (3.20)

Ускорение точки А как нормальное ускорение точки, равномерно движущейся по окружности радиуса , равно . Ускорение точки D при прямолинейном движении . Осестремительные ускорения точки В относительно полюсов ,

, .

Вращательные ускорения точки В относительно полюсов

,                                                         (3.21)

Проецированием (3.20) на оси координат получим

Разрешая последнюю систему относительно модулей вращательных ускорений, получим   (т.е. вектор  направлен в сторону, противоположную направлению этого вектора, показанного на рис. 3.19).

Учитывая (3.21), находим угловые ускорения стержней

, ;

, .

Ответ: , .

12. Рассмотрим движение точки D, принадлежащей стержням AD и BD одновременно (рис. 3.20). Скорость этой точки

.(3.22)

Скорости точек А и В

 

Скорости поворота точки В относительно полюсов

Проецируя (3.22) на перпендикулярные прямые  и  получим

т.е. . Отсюда угловые скорости стержней AD и BD . Из (3.22) следует, что

, и  (направлена вправо вдоль оси .

Для нахождения ускорения точки D также возьмем за полюс точки А и В.

                                             (3.23)

Ускорения точек А и В как нормальные ускорения точек, равномерно движущихся по окружности радиусов  и  равны

, .

Осестремительные ускорения точки D относительно полюсов

 

 .

Вращательные ускорения точки D относительно полюсов

, .

Проецированием (3.23) на прямую  получим

, т.е. . Учитывая (3.23) в проекциях на оси

Ответ: , .

13.Из условия качения диска без проскальзывания следует, что его мгновенный центр скоростей находится в точке С (рис. 3.21), а скорость точки А перпендикулярна АС. Условие недеформируемости диска дает для проекций скоростей , т.е. , . Из условия недеформируемости стержня АВ , т.е. , .

Для нахождения ускорения точки В примем точку А стержня АВ за полюс.

     (3.24)

Ускорение точки А находим как ускорение точки диска, взяв за полюс точку О.

. Осестремительное ускорение . Угловая скорость диска  (направлена "от нас" перпендикулярно плоскости рисунка). Тогда .

Вращательное ускорение . Если ось  направлена "от нас", то , а угловое ускорение диска  и сонаправлено с угловой скоростью диска. Тогда .

Осестремительное ускорение . Мгновенный центр скоростей стержня АВ  расположен в точке пересечения перпендикуляров к векторам скорости точек  и . Тогда угловая скорость стержня , а .

Вращательное ускорение . Проецированием (3.24) на прямую  получаем

, т.е. .

Ответ: , .

14. Из условия качения без проскальзывания следует, что мгновенный центр скоростей каждого из тел находится в точке их соприкосновения С (рис. 3.22). Тогда скорость центра диска . С другой стороны скорость точки О, движущейся по окружности радиуса , , т.е. . Аналогично, скорость . Отсюда . Вектор угловой скорости кольца сонаправлен с вектором угловой скорости диска и направлен "на нас" перпендикулярно плоскости рисунка.