Сборник задач по дисциплине "Теоретическая механика". Часть 1 (Условия 28 задач и решение задач № 1-20), страница 3

Ответ: .

2.1-й способ. Без ограничения общности можем считать, что . Введя систему координат (рис. 3.3) в текущий момент времени имеем

Дифференцированием по времени находим составляющие скорости и ускорения точки В

При .

2-й способ. Так как стержни ОA и АВ образуют с горизонталью одинаковый угол, но вращаются в противоположном друг другу направлении, их угловые скорости и угловые ускорения

Рассматривая плоскопараллельное движение стрежня АВ имеем

. (3.2)

Для стержня ОА . Скорость поворота точки В относительно точки А и направлена как показано на рис. 3.3. Проецированием (3.2) на оси координат при имеем

Для ускорения точки В

. (3.3)

Ускорение точки А (рис. 3.3). Осе-стремительное ускорение точки В относительно полюса А и направлено как показано на рис. 3.3. Проецируя (3.3) на оси координат при , имеем

В итоге приходим к ответу.

Ответ: .

3.1-й способ. Точка С совершает прямолинейное движение вдоль оси (рис. 3.4). Ее координата . Из треугольника .

Тогда .

Дифференцированием координаты находим скорость и ускорение точки С.

При . Ускорение

При .

Скорости точек С и D связаны соотношением

(3.4)

Так как , то .

При .

Вектор . Умножим (3.4) слева на вектор векторно. Тогда .

Так как (при пренебрежении составляющей угловой скорости вдоль прямой , и ), то . Вычисляя векторное произведение в последнем выражении с помощью определителя при

получим .

2-й способ. Рассмотрим движение стержня АВ в плоскости (рис. 3.5). Мгновенный центр скоростей стержня АВ расположен как показано на рисунке. Тогда в рассматриваемый момент времени . Так как , т.е. .

Скорость точки D , она перпендикулярна и проходит по прямой . Угловая скорость

Из условия недеформируемости стержня АВ проекции , т.е. . Составляющие

Условие недеформируемости стрежня CD дает соотношение , или . Выписывая это соотношение через составляющие входящих в него векторов на оси координат, имеем , то есть . Угловая скорость стержня CD ищется так же, как описано в 1-м способе решения.

Для нахождения ускорения точки С вначале найдем ускорение точки D. Взяв точку А за полюс, имеем . Осестремительное ускорение , . Вращательное ускорение .

Для определения углового ускорения рассмотрим формулу для ускорения точки В:

Проецируя ее на ось имеем , т.е. .

Отсюда (направление этого вектора показано на рис. 3.5).

Для точки С

. (3.5)

Вектор (так как из-за пренебрежения составляющей угловой скорости вдоль стержня CD ). Для модулей , т.е. , или . Выписывая (3.5) в проекции на прямую избавляемся от необходимости вычисления , т.к. . Тогда

,или .

Отсюда .

Замечание. Как видно, второй способ, использующий формулы кинематики твердого тела без формул кинематики точки, является более трудоемким.

Ответ: , , .

4. В рассматриваемой системе координат (рис. 3.6)

Из треугольника расстояние . Угол

Тогда ,

Составляющие скорости точки М

Составляющие ускорения точки М

Ответ: .

5.1-й способ. Рассмотрим прямолинейное движение ползуна C вдоль оси (рис. 3.7). Координата . Не ограничивая общности можно считать, что показанное положение соответствует начальному моменту времени . Тогда угол . Из треугольника по теореме косинусов По теореме синусов , то есть . Далее