Сборник задач по дисциплине "Теоретическая механика". Часть 1 (Условия 28 задач и решение задач № 1-20), страница 4

Выписывая (3.8) в проекции на перпендикуляр к прямой , имеем

. Так как , то .

Выписывая (3.7) в проекции на перпендикуляр к прямой  имеем

.  Так как , то .

3-й способ.  Рассмотрим движение точки С как точки, принадлежащей стержню, совершающему плоскопараллельное движение. По теореме сложения скоростей   

(если подвижная система отсчета связана со стержнем АВС) (рис. 3.10). Тогда точка  является мгновенным центром скоростей рассматриваемого стержня. Если – его угловая скорость, то . Угловую скорость  найдем, используя данные о движении точки В.  , или

                                                            (3.9)

Проецируя (3.9) на перпендикуляр к прямой  имеем . Отсюда ,

.

Для нахождения ускорения точки С рассмотрим теорему сложения ускорений для точки В.

              (3.10)

Так как , , ,  (рис. 3.11), то выписывая (3.10) в проекции на перпендикуляр к прямой , имеем

. (3.11)

Для нахождения ускорения Кориолиса  вначале находим относительную скорость , проецируя (3.9) на прямую .

, то есть , .

Равенство (3.11) пока не позволяет вычислить , поскольку неизвестным остается вращательное ускорение . Чтобы найти его, рассмотрим теорему сложения ускорений для точки А:

.                                                              (3.12)

,

Выпишем (3.12) в проекции на перпендикуляр к прямой :

.

Ускорение Кориолиса . Вращательное ускорение . Поэтому

                                                        (3.13)

Совместное решение (3.11) и (3.13) дает .

Решение показывает, что первым способом результат достигается легче, чем вторым или третьим.

Ответ: .

6.1-й способ.Не ограничивая общности будем считать, что положение системы при  соответствует начальному моменту времени . Введенная система координат показана на рис. 3.12. Координата точки М

Составляющая скорости вдоль оси  , при    .  Составляющая ускорения вдоль оси

,  при   .

Запишем уравнение связи, характерное для системы: .

Дифференцируя его два раза по времени, получим

 ,    .

Отсюда при    , т.е. угловая скорость стержня ОА  , а угловое ускорение его .

2-й способ. Рассмотрим положение системы при  (рис. 3.13). Связав подвижную систему отсчета со стержнем ОА, по теореме сложения скоростей для точки M имеем . Учитывая расположение входящих сюда векторов . Так как , то .

По теореме сложения ускорений для точки М

      (3.14)

Относительное ускорение при прямолинейном равномерном движении точки М по стержню ОА  .

Переносное ускорение

. Осестремительное ускорение , ;вращательное ускорение . Ускорение Кориолиса .  Проецируя (3.14) на прямую  имеем , т.е. . Проецируя (3.14) на перпендикуляр к прямой  имеем , т.е. , а угловое ускорение .

Ответ: , .

7.1-й способ. В выбранной здесь системе координат (рис. 3.14)  . Из равнобедренного треугольника  следует, что . Тогда , .

Составляющие скорости точки В

Составляющие ускорения точки В

2-й способ. Рассмотрим плоскопараллельное движение кулисного камня. Скорость точки В

.                                                                 (3.15)

При вращательном движении , . Скорость точки В относительно полюса А . Так как угол поворота кулисы , то , и . Проецированием (3.15) на оси координат получим

Для ускорения точки В . При вращательном движении . Так как , то  и .

Осестремительное ускорение , . Угловое ускорение , поэтому вращательное ускорение , и

.                                                                (3.16)

Проецированием (3.16) на оси координат получим

Ответ: ,

8. В рассмотренной системе координат (рис. 3.15) .

Дифференцированием по времени находим составляющие скорости и ускорения центра диска С:

,

.

Ответ: , .

9.Точка В движется по окружности меридиана (рис. 3.16), ее положение определяется углом . Положение точки А на экваторе определяет угол . Свяжем эти углы с помощью уравнения связи, отражающего неизменность длины стержня:

                                             (3.17)

Координаты точек А и В:

Подстановка их в (3.17) после преобразований дает

,             (3.18)

а при , поэтому .

Дифференцирование (3.18) по времени дает          , или , при : . Дальнейшим дифференцированием получим , при : (, так как ).

Скорость точки В при движении по окружности , при  . Ускорение точки В как сумма касательного и нормального ускорения при движении по окружности . При        .