Сборник задач по дисциплине "Теоретическая механика". Часть 1 (Условия 28 задач и решение задач № 1-20), страница 2


19. Пластинка проигрывателя (рис. 2.19) вращается с постоянной угловой скоростью . Звуковая дорожка имеет форму спирали Архимеда . Найти абсолютную скорость иглы и скорость иглы относительно пластинки в зависимости от угла  поворота звукоснимателя ОА. (7 баллов)

20. Стержень, изогнутый по дуге окружности радиуса   (рис. 2.20), вращается замедленно вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка с угловой скоростью  и угловым ускорением . Кольцо М одновременно надето на этот стержень и на неподвижный стержень, изогнутый по дуге окружности того же радиуса  , с центром в точке О. В показанном положении определить скорость и ускорение кольца М. (2 балла)

21.


Точка М движется по радиусу диска, вращающегося в своей плоскости вокруг центра О так, что (рис. 2.21). Начальная угловая скорость диска . Найти закон вращения диска, при котором абсолютное ускорение точки М в любой момент времени направлено по радиусу. (8 баллов)

22. Стержень АВ длины  движется в плоскости рис. 2.22, скользя концами по неподвижным направляющим так, что скорость точки А . По стержню АВ движется точка М с относительной скоростью . При какой скорости  в показанном положении при  абсолютное ускорение точки М в середине стержня направлено вдоль стержня? (9 баллов)


23. Тележка А скатывается с постоянной скоростью  по наклонной плоскости, сматывая нерастяжимый трос с барабана радиуса  и заставляя последний вращаться (рис. 2.23). Найти зависимость между составляющей угловой скорости барабана  и длиной пути, пройденного тележкой из точки . Провисанием троса пренебречь. (3 балла)

24.
Точка С плоского механизма (рис. 2.24) движется вправо с постоянной скоростью  . . В указанном положении найти угловую скорость и угловое ускорение угольника DOE. (13 баллов)

25. Точка М движется в плоскости  согласно уравнениям . Плоскость  вращается вокруг оси  с угловой скоростью . Найти абсолютное ускорение точки М в тот момент времени после начала движения, когда оно направлено вдоль прямой, соединяющей точку М с началом координат. (7 баллов)

26. Стержень AD движется в направляющих вправо, имея скорость   и ускорение  (рис. 2.25). Расстояние от точечной муфты В до стержня AD равно . Найти угловую скорость и угловое ускорение стержня АС в положении, определяемом углом . (3 балла)

27. По неподвижной стойке скользит втулка А по закону . К втулке шарнирно прикреплен стержень АВ, движущийся в плоскости рис. 2.26 и опирающийся на полуцилиндр радиуса . Полуцилиндр движется по горизонтальной плоскости по закону . Размеры . Найти угловую скорость и угловое ускорение стержня АВ в момент времени .   (8 баллов)

28.


Полукруглый толкатель радиуса  движется ускоренно по горизонтальной направляющей со скоростью   и ускорением  (рис. 2.27). Навстречу ему также ускоренно и с теми же по модулю скоростью и ускорением движется ползун В. С ползуном шарнирно соединен стержень , опирающийся на толкатель. Найти скорость и ускорение точки С в положении, когда стержень образует с горизонталью угол в . (6 баллов)

3. Решение задач

1.1-й способ. Введем в плоскости движения систему координат  (рис. 3.1). Тогда закон движения точки А в этой системе координат имеет вид:

.

Условие того, что скорость точки В всегда направлена на текущее положение точки А выражается в виде

В момент встречи расстояние .

Обозначим .  Тогда

  или   

Складывая последние равенства, имеем

, или .

Частная производная , то есть .  Интегрируя по времени последнее равенство, имеем  . Произвольная постоянная интегрирования определяется из начальных условий

; т.е. , или .  

В момент встречи , т.е. .

2-й способ.  Введем подвижную систему отсчета , связанную с движущейся точкой А (рис. 3.2). Тогда по теореме сложения скоростей для точки В , или .        В проекциях на подвижные оси:

Аналогично первому способу .

Тогда , или       

Сложением последних равенств имеем

                                          (3.1)

Из треугольника, построенного на векторах относительной, переносной и абсолютной скоростей точки В имеем

.

Подстановка полученного выражения в (3.1) дает  .  Интегрированием имеем . Из начальных условий  следует, что , .

В момент встречи  (путь, пройденный точкой А). Отсюда .