Механика \ Теоретическая механика

Сборник задач по дисциплине "Теоретическая механика". Часть 1 (Условия 28 задач и решение задач № 1-20), страница 2

19. Пластинка проигрывателя (рис. 2.19) вращается с постоянной угловой скоростью . Звуковая дорожка имеет форму спирали Архимеда , . Найти абсолютную скорость иглы и скорость иглы относительно пластинки в зависимости от угла поворота звукоснимателя ОА. (7 баллов)

20. Стержень, изогнутый по дуге окружности радиуса (рис. 2.20), вращается замедленно вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка с угловой скоростью и угловым ускорением . Кольцо М одновременно надето на этот стержень и на неподвижный стержень, изогнутый по дуге окружности того же радиуса , с центром в точке О. В показанном положении определить скорость и ускорение кольца М. (2 балла)

21.

Точка М движется по радиусу диска, вращающегося в своей плоскости вокруг центра О так, что

(рис. 2.21). Начальная угловая скорость диска

. Найти закон вращения диска, при котором абсолютное ускорение точки М в любой момент времени направлено по радиусу. (8 баллов)

22. Стержень АВ длины движется в плоскости рис. 2.22, скользя концами по неподвижным направляющим так, что скорость точки А . По стержню АВ движется точка М с относительной скоростью . При какой скорости в показанном положении при абсолютное ускорение точки М в середине стержня направлено вдоль стержня? (9 баллов)

23. Тележка А скатывается с постоянной скоростью по наклонной плоскости, сматывая нерастяжимый трос с барабана радиуса и заставляя последний вращаться (рис. 2.23). Найти зависимость между составляющей угловой скорости барабана и длиной пути, пройденного тележкой из точки . Провисанием троса пренебречь. (3 балла)

24.
Точка С плоского механизма (рис. 2.24) движется вправо с постоянной скоростью . . В указанном положении найти угловую скорость и угловое ускорение угольника DOE. (13 баллов)

25. Точка М движется в плоскости согласно уравнениям . Плоскость вращается вокруг оси с угловой скоростью . Найти абсолютное ускорение точки М в тот момент времени после начала движения, когда оно направлено вдоль прямой, соединяющей точку М с началом координат. (7 баллов)

26. Стержень AD движется в направляющих вправо, имея скорость и ускорение (рис. 2.25). Расстояние от точечной муфты В до стержня AD равно . Найти угловую скорость и угловое ускорение стержня АС в положении, определяемом углом . (3 балла)

27. По неподвижной стойке скользит втулка А по закону . К втулке шарнирно прикреплен стержень АВ, движущийся в плоскости рис. 2.26 и опирающийся на полуцилиндр радиуса . Полуцилиндр движется по горизонтальной плоскости по закону . Размеры . Найти угловую скорость и угловое ускорение стержня АВ в момент времени . (8 баллов)

28.

Полукруглый толкатель радиуса

движется ускоренно по горизонтальной направляющей со скоростью

и ускорением

(рис. 2.27). Навстречу ему также ускоренно и с теми же по модулю скоростью и ускорением движется ползун В. С ползуном шарнирно соединен стержень

, опирающийся на толкатель. Найти скорость и ускорение точки С в положении, когда стержень образует с горизонталью угол в

. (6 баллов)

3. Решение задач

1.1-й способ. Введем в плоскости движения систему координат (рис. 3.1). Тогда закон движения точки А в этой системе координат имеет вид:

Условие того, что скорость точки В всегда направлена на текущее положение точки А выражается в виде

В момент встречи расстояние .

Обозначим . Тогда

или

Складывая последние равенства, имеем

, или .

Частная производная , то есть . Интегрируя по времени последнее равенство, имеем . Произвольная постоянная интегрирования определяется из начальных условий

; т.е. , или .

В момент встречи , т.е. .

2-й способ. Введем подвижную систему отсчета , связанную с движущейся точкой А (рис. 3.2). Тогда по теореме сложения скоростей для точки В , или . В проекциях на подвижные оси: