Классификация сил по характеру производимой работы. Кинетическая энергия системы материальных точек

Теорема: Работа равнодействующей системы сил на некотором перемещении м. т.     равна сумме работ составляющих сил данной системы на том же самом перемещении м. т.

Частные случаи:

1. Работа постоянной по величине  и по направлению силы.

                                                                                         

М                                      

M₀                                                                                       

                                                                                                        F_x = C₁

 = , т.е.      Fy = C₂

Fz = C₃    

Т.к. в данном случае (см. ф-лу (27)) каждое из слагаемых независимы друг от друга, то интеграл можно разбить на 3 интеграла, а именно:

x           x         x

А = ∫F_xdx + ∫F_ydy +∫F_zdz = F_x(x-x₀) + F_y(y-y₀) + F_z(z-z₀) ;    (28)

x₀          x₀        x₀

Вывод: Работа постоянной силы зависит только от начального и конечного положений точки на траектории и не зависит от формы траектории (или длины постоянного пути)!

Пример: Работа силы тяжести

                               Y                           

M(x,y,z)                            F_x = F_y = 0

                                                                                                                         F_y = -q = -mg

M(x₀,y₀,z₀)                                                   

A = -mg(y-y₀)

q         

0  X

Z                                         а) Пусть точка М поднимается, т.е. y>y₀. ↑↓ (перемещение и сила тяжести противоположны по    направлению).

y – y = Δy = h > 0.   тогда  A = -mgh < 0

б) Пусть точка М опускается вниз, т.е. y < y_0.

            y – y = -h ;   A = mgh > 0

Вывод: Работа отрицательная, если сила и перемещение противоположны по направлению!

Классификация сил по характеру производимой работы.

− консервативные силы

− неконсервативные (диссипативные) силы

Опр: Консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории, по которой движется м.т. (от длины пути), а зависит от начального и конечного положений точки на траектории (пример: постоянная сила – сила тяжести).

Опр: Неконсервативными (диссипативными) называются силы, работа которых зависит от формы траектории, т.е. от длины пути, пройденного точкой (пример: силы трения, силы сопротивления).

Рассмотрим работу консервативной силы:

Часть пространства, в каждой точке которого задана консервативная сила (x,y,z) называется динамическим полем этой консервативной силы, силовым полем.

Введём понятие «потенциальной функции» для определения работы силы.

Опр: Потенциальной (силовой) функцией консервативной силы  называется такая аналитическая функция U (x,y,z), зависящая точка от координат точки, которая:

1)  в любой точке динамического поля определена, однозначна и дифференцируема;

2)  в некоторой точке динамического поля U (x,y,z) = 0. Эта точка динамического поля называется «нулевой точкой»: H (x_н,y_н,z_н);

3)  значение потенциальной функции в данной точке динамического поля определяется работой при перемещении м.т. из начальной точки в данную точку динамического поля.

(x,y,z)

U (x,y,z) = ∫(K_xdx + K_ydy + K_zdz)    (*)

(x_н,y_н,z_н)

Рассмотрим м.т. в динамическом поле консервативных сил K (x,y,z).

                                                                                 М 

 

М₀

    

 

H (x_н,y_н,z_н)

(x,y,z)                             (x_н,y_н,z_н)                           (x,y,z)

A = ∫(K_xdx + K_ydy + K_zdz) = ∫(K_xdx + K_ydy + K_zdz) + ∫(K_xdx + K_ydy + K_zdz)

(x₀,y₀,z₀)                          (x₀,y₀,z₀)                          (x_н,y_н,z_н)

 

-U(x₀,y₀,z₀)                         U(x,y,z)

A = U(x,y,z) - U(x₀,y₀,z₀) = U – U₀ ;

A = U – U₀   . . . (29)

Работа консервативной силы на замкнутой траектории = 0 (функция однозначная!).

Условия, при которых аналитическая функция U(x,y,z) является потенциальной функцией консервативной силы (x,y,z).

Если  – консервативная сила, то выражение под знаком ∫-ла → полный диффернциал dU

K_xdx + K_ydy + K_zdz = dU … см. (*)

Т.к. U(x,y,z), то

dU = dx + dy + dz , тогда

K_x =

K_y =                            K_xdx + K_ydy + K_zdz = dx + dy + dz

K_z =               (30) – условия, необходимые для того, чтобы функция U была потенциальной                                      функцией консервативной силы    

Т.е.  = grad U  (30)*

Самостоятельно: эквипотенциальные поверхности, теорема о необходимом и достаточном условиях консервативности силы  (x,y,z).

 =

 =

 =

Потенциальная энергия: