Метод наименьших квадратов
Наиболее распространенным критерием малости уклонений является критерий, лежащий в основе метода наименьших квадратов: параметры функции ф(х) выбрать так, чтобы оказалась минимальной сумма квадратов уклонений
Пусть функция—многочлен степени т, т.е.
Задача параболического приближения функций по способу наименьших квадратов ставится следующим образом: подобрать коэффициенты многочлена так, чтобы сумма квадратов погрешностей для данного т оказалась минимальной.
Если , существует бесконечное множество полиномов, для которых выполняется равенство
.
В случае т = п-1 указанное равенство обеспечивается единственным полиномом, дающим решение интерполяционной задачи. Если m<n—1 (в дальнейшем будем рассматривать только этот случай), то
.
при любых значениях коэффициентов полинома ; нужно так выбрать коэффициенты этого полинома, чтобы величина
стала минимальной.
Отметим, что чем меньше m, тем проще эмпирическая формула, однако понижение степени полинома приводит к увеличению соответствующего минимума суммы квадратов уклонений, следовательно, и самих уклонений.
В следующих параграфах рассмотрим подробнее случаи т=1 и т = 2, т. е. линейное и квадратичное приближения функций по способу наименьших квадратов.
§ 1. Определениепараметровэмпирическихформул
поспособунаименьшихквадратов
вслучаелинейнойзависимости
В естествознании, в частности химических, физических и других науках, приходится пользоваться эмпирическими формулами, составленными на основании результатов опыта и наблюдения. Способ наименьших квадратов — один из наилучших методов получения таких формул. Изложим идею этого способа для случая линейной зависимости двух величин.
Пусть необходимо установить зависимость между двумя величинами хну.Производим п измерений и результаты заносим в таблицу
Будем рассматривать и как прямоугольные декартовы координаты точек на плоскости:
.
Предположим, что эти точки почти лежат на некоторой прямой (рис. 20). Естественно в этом случае предположить, что между х и у существует линейная зависимость, т. е. у есть линейная функция от х, выражающаяся формулой
у = ах-\-Ь,(1)
где а н b— некоторые постоянные коэффициенты (параметры), подлежащие определению. Равенство (1) можно записать также в виде
ах-\-Ь~ у^О.(2)
Поскольку точки Mi(xuуг) только приблизительно лежат на прямой, определяемой уравнением (1) или (2), то и формулы эти являются приближенными. Следовательно, подставляя в формулу (2) вместо х и у их значения Xi, Уг (г=1, 2, ..., п), взятые из данной таблицы, получаем равенства:
(3) |
~у2- е2;
где 8ь 82, .... еп — уклонения.
Требуется подобрать коэффициенты а и bтак, чтобы уклонения были по возможности малыми по абсолютной величине. Согласно способу наименьших квадратов, подберем коэффициенты а и bтак, чтобы сумма квадратов уклонений
«-e»+eJ+...-+el (4)
Рис. 20 |
была наименьшей. Если эта минимальная сумма окажется достаточно малой, то тогда и сами уклонения будут малыми по абсолютной величине.
Подставляя равенства (3) в формулу (4), получаем
и= {ах{+Ь-1ц)*+ {ахг-\-Ь~уг)2+ . .. +(ахп+Ь—уп)2.
(5)
Переменная величина и является функцией двух переменных а и b(а и Ъ — неизвестные, подлежащие определению; Xi, tji— числа, полученные в результате измерений), Подберем параметры а и bтак, чтобы функция и получила возможно меньшее значение. Для этого необходимо, чтобы
да ди
= 0, — =0. (6)
db |
да
Находя частные производные функции и по а и Ь, при равнивая их нулю, получаем так называемую нормаль ную систему
(7)
Xi~\-bn =
Из системы (7) определяют параметры а и bэмпирической формулы (1).
Замечание 1. Легко видеть, что если результаты измерений в точности удовлетворяют линейному закону (y=ajc+&), то первые разделенные разности (см. § 2 гл. IV) должны быть постоянны:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.