Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Гомельский государственный
технический университет имени П.О.Сухого»
Кафедра «Высшая математика»
В.И. Гойко, В.Г. Тепляков
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
лекции
по курсу «Высшая математика» и «Математика»
для студентов заочного отделения всех специальностей
Гомель 2010
УДК 517.37
ББК
Рекомендовано к изданию научно-методическим советом факультета автоматизированных и информационных систем
ГГТУ им. П.О.Сухого
(протокол № ____ от __________________)
Рецензент: зав. кафедрой «Высшая математика» УО БелГУТ, канд. физ.-мат. наук, доцент С.П. Новиков.
Гойко В.И.
Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры. Пособие по курсу «Высшая математика» для студентов заочного отделения всех специальностей / В.И. Гойко, В.Г. Тепляков. – Гомель: ГГТУ им. П.О.Сухого, 2010. – с.
В пособии излагаются основы аналитической геометрии и элементы линейной алгебры. Приводится достаточно большое количество решенных задач и примеров, иллюстрирующих основные положения, формулы и определения аналитической геометрии и линейной алгебры.
Для студентов всех специальностей заочного отделения технических университетов.
Глава 1
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Рассмотрим на прямой две различные точки Oи E. Будем говорить, что точка Mпрямой , отличная от точки O, и точка E лежат по одну сторону относительно O, если точка O не лежит между E и M. Точки E и M лежат по разные стороны от точки O, если O лежит между ними.
Лучом (O, E) называется совокупность точек, состоящую из O, E и всех точек M прямой , лежащих по одну сторону с точкой E относительно точки O. Точка O называется началом луча.
Рассмотрим на прямой две точки O иE. Точка O делит прямую на два луча. Точка O называется началом системы координат, прямая – осью координат. Выберем отрезок OE в качестве единицы масштаба. Возьмем на прямой произвольную точку M. Этой точке поставим в соответствие число x, определяемое следующим образом:
1) – длина отрезка OM, измеренного при помощи единичного отрезка OE;
2) , если точки MиE принадлежат одному лучу ( O, E) и , если точки MиE принадлежат разным лучам прямой относительно точки O;
3) , если точка M совпадает с точкой O.
Число x называется координатой точки M и записывается так: M(x). Обратно, всякому числу x ставится в соответствие на прямой точка M, для которой число x есть координата, если даны начало системы координат O и единица масштаба OE.
§1. Вычисление длины отрезка на прямой. Деление отрезка в данном отношении
Пусть даны две точки и .
Длина отрезка AB, измеренного единичным отрезком OE, вычисляется по формуле:
(1.1)
Разделить отрезок в данном отношении l – это значит на прямой AB найти такую точку C, что выполняются следующие условия:
;
точка C принадлежит отрезку AB, если , и лежит вне отрезка AB, если .
Пусть координаты точек A и B будут соответственно и . Так как , , а знаки разностей и одинаковы, если точка C принадлежит отрезку AB, и различны в противном случае, то получим равенство:
.
Теперь получаем: . Если , то .
Если , то . В этом случае делящая точка C(x) будет серединой отрезка.
§ 2. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости
Рассмотрим на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые. Пусть точка O – точка пересечения этих прямых и E1, E2 – две точки на этих прямых, удовлетворяющих условию:
. Точка O называется началом системы координат, ось Oxназывается осью абсцисс, ось Oy – осью ординат. На рисунках ось абсцисс проводится горизонтально, а ось ординат – вертикально. На оси абсцисс положительным направлением считается направление слева направо, а на оси ординат положительным направлением считается направление снизу вверх.
Пусть M – произвольная точка плоскости. Проведем перпендикуляры из точки M к осям Oxи Oy и найдем точки и пересечения этих перпендикуляров с соответствующими осями. Координатами точки M называются числа , . Запись обозначает, что , есть координаты точки M. Теперь мы скажем, что на плоскости построена декартова прямоугольная система координат, которая обозначается символом Oxy. Каждой точке M плоскости поставлена в соответствие вполне определенная пара вещественных чисел, взятых в определенном порядке, короче, упорядоченная пара чисел – ее координаты x и y. Обратно, каждой упорядоченной паре действительных чисел x и y соответствует единственная точка M, координаты которой равны x и y.
§ 3. Вычисление длины отрезка на плоскости
Вычислим длину d отрезка AB, если заданы координаты точек и . Проведем через точки Aи B прямые, параллельные осям координат, до пересечения с ними в точках , , , .
Рассмотрим прямоугольный треугольник . Используя теорему Пифагора, получим:
,
.
Отсюда получаем следующую формулу:
(1.2)
Если прямая AB параллельна одной из осей координат, например, оси Ox, или совпадает с ней, то длина отрезка ABравна длине отрезка . Следовательно, и так как в этом случае , то d вычисляется по формуле (1.2). Формула (1.2) является общей формулой, справедливой для любого положения точек A, B на плоскости.
Пример 3.1. Вычислить длину отрезка AB, если , .
Решение. Используем формулу (1.2):
.
§ 4. Деление отрезка в данном отношении
Пусть даны точки , . Требуется найти точку , которая делит отрезок в отношении l1 : l2, т. е. удовлетворяющую соотношению
. Тогда координаты точки вычисляются по формулам:
, . (1.3)
Пусть – середина отрезка M1M2. Легко видно, что координаты точки вычисляются по следующим формулам:
, . (1.4)
Пример 4.2. Найти центр тяжести треугольника , если .
Решение. Известно, что искомая точка лежит на пересечении медиан треугольника и делит каждую из них в отношении (считая от вершины треугольника). Т.к. CK– медиана, то – середина стороны . Тогда . Теперь используем формулы (1.3). Делим отрезок в отношении , получим: Итак, M(4; 5).
§ 5. Полярные координаты точки
Рассмотрим на плоскости луч (O, E) с начальной точкой O и некоторой точкой E. Луч называется полярной осью, точка O – полюсом, точка E – единичной точкой.
Пусть M – произвольная точка плоскости. Длину отрезка OM, измеренного единичным отрезком OE, называют длиной полярного радиуса точки M и обозначают r. Положительный угол от луча (O, E) до луча (O, M) называют полярным углом точки M и обозначают буквой φ. Пара чисел φ и r называется полярными координатами точки M. Последний факт записывается следующим образом: M(φ, r).
Если известны полярные координаты φ, r точки M, то по формулам:
; (1.5)
вычисляются декартовы координаты. Обратно, если известны декартовы координаты x,y точки M, то ее полярные координаты вычисляются по формулам:
(1.6)
§ 6. Элементы векторной алгебры
Одни физические величины такие, как масса, температура, время можно вполне характеризовать заданием их численного значения. Такие величины называются скалярными, а числа, выражающие значения этих величин, называются скалярами. Другие же величины такие, как сила, скорость, ускорение характеризуются
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.