Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Гомельский государственный
технический университет имени П.О.Сухого»
Кафедра «Высшая математика»
Н.Н. Бородин, В.И. Гойко, Е.А. Дегтярёва
Учебно-методическое пособие
для проведения тестирования
по дисциплине «Математика». Часть II
для студентов заочного отделения
Гомель 2012
СОДЕРЖАНИЕ
1. |
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
5 |
|
1.1 |
Непосредственное интегрирование |
5 |
|
1.2 |
Метод занесения под знак дифференциала |
6 |
|
1.3 |
Метод замены переменной в неопределенном интеграле |
7 |
|
1.4 |
Метод интегрирования по частям |
9 |
|
1.5 |
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен |
11 |
|
1.6 |
Интегрирование рациональных функций |
12 |
|
1.7 |
Интегрирование иррациональных выражений |
15 |
|
1.8 |
Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции |
16 |
|
1.9 |
Универсальная тригонометрическая подстановка |
18 |
|
2. |
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
19 |
|
2.1 |
Понятие определенного интеграла |
19 |
|
2.2 |
Геометрические приложения определенного интеграла |
21 |
|
3. |
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
25 |
|
3.1 |
Основные понятия функции двух и более переменных |
25 |
|
3.2 |
Частные производные первого порядка. Полный дифференциал |
27 |
|
3.3 |
Частные производные высших порядков |
29 |
|
3.4 |
Дифференцирование сложных функций |
30 |
|
3.5 |
Неявные функции и их дифференцирование |
32 |
|
3.6 |
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума |
33 |
|
4. |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
35 |
|
4.1 |
Уравнения с разделяющимися переменными |
35 |
|
4.2 |
Однородные уравнения первого порядка |
37 |
|
4.3 |
Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли |
39 |
|
4.4 |
Уравнения в полных дифференциалах |
41 |
|
4.5 |
Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка |
42 |
|
4.6 |
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами |
44 |
|
4.7 |
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами |
46 |
|
4.8 |
Системы дифференциальных уравнений |
48 |
|
ВАРИАНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ |
49 |
||
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ |
54 |
||
ЛИТЕРАТУРА |
59 |
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1 Непосредственное интегрирование
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если
а) F(x) дифференцируема на (a;b),
б).
Если F(x) является первообразной для функции f(x) на (a;b), то и любая функция , также является первообразной для f(x) на (a;b).
Неопределенным интегралом от функции f(x) на (a;b) называется множество всех первообразных функции f(x) на этом интервале. Неопределенный интеграл обозначается символом . Неопределенный интеграл записывают в виде формулы:
, (1.1)
где – любая из первообразных для функцииf(x) на (a;b), С – произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла:
1)
2)
3)
4)
Таблица основных неопределенных интегралов:
I.
II. .
III. .
IV. .
V. .
VI. .
VII. .
VIII. .
IX. .
X. .
XI. .
XII. .
Метод непосредственного интегрирования состоит в сведении заданного интеграла к сумме или разности табличных интегралов путем тождественных преобразований подынтегральной функции.
Пример 1.1 Найти .
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:
.
Таким образом, получаем:
.
Ответ: .
1.2 Метод занесения под знак дифференциала
Метод занесения под знак дифференциала основан на определении дифференциала функции одной переменной:
(1.2)
и свойстве инвариантности дифференциала первого порядка: если , то
. (1.3)
В силу этого свойства, таблица интегралов оказывается справедливой, независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией.
Пример 1.2 Найти .
Решение. Применим метод занесения под знак дифференциала, воспользовавшись формулой (1.3):
Ответ: .
1.3 Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Метод замены переменной заключается в том, что в интеграле, нахождение которого затруднительно, вводят новую переменную . При этом необходимо, чтобы полученный интеграл стал табличным или, по крайней мере, был бы ясен способ его нахождения. После вычисления следует вернуться к исходной переменной.
Пример 1.3 Найти .
Решение. Подстановкой знаменатель упрощается, и интеграл приводится к табличным интегралам:
.
Ответ: .
Тригонометрические и гиперболические подстановки
Часто для вычисления интегралов, содержащих радикалы вида применяются тригонометрические и гиперболические подстановки.
1) Если интеграл содержит, то используем следующую замену: (1.4)
Пример 1.4 Найти .
Решение. После применения тригонометрической подстановки получим
.
Для вычисления полученного интеграла воспользуемся формулой:
.
Тогда
.
Для того, чтобы вернуться к исходной переменной, необходимо провести следующие преобразования:
.
Учитывая, что ;
; , окончательно получаем:
.
2) Если интеграл содержит радикал , то полагают
. (1.5)
Следует отметить, что часто, полученный в результате указанной подстановки интеграл, в свою очередь, оказывается довольно сложным. В таком случае можно вместо подстановки (1.5) воспользоваться гиперболической подстановкой
. (1.6)
При использовании гиперболических подстановок надлежит помнить, что
, .
3) Интеграл, содержащий радикал может быть упрощен путем замен или .
1.4 Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям основан на применении формулы
, (1.7)
где – непрерывно дифференцируемые на некотором интервале функции.
К интегралам, которые находят методом интегрирования по частям, относятся интегралы следующих видов:
1) , где – полином n-ой степени от x.
В данном случае за следует выбрать , а за – или .
Таким образом, в результате применения формулы (1.7) мы пришли к интегралу более простому по отношению к исходному. Следует подчеркнуть, что формула интегрирования по частям может быть применена несколько раз, до тех пор, пока мы не придем к , т.е. не придем к интегралу .
2) , где – полином степени n от x.
В данном случае за обозначают , за . Формула интегрирования по частям применяется до тех пор, пока не останется .
3) .
В данном случае за следует выбирать ; ; , за . Тогда в результате применения формулы интегрирования по частям мы приходим к интегралам, содержащим только рациональные функции и радикалы.
4) Интегралы вида вычисляются с помощью двукратного применения формулы интегрирования по частям и последующего решения полученного уравнения относительно исходного интеграла. Следует отметить, что в данном случае безразлично, что изначально принимать за , а что за .
Пример 1.5 Найти .
Решение.
.
Пример 1.6 Найти .
Решение.
.
1.5 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Интегралы вида и после выделения полного квадрата в квадратном трехчлене сводятся к одному из табличных интегралов вида VII, VIII, IX или X.
Пример 1.7Найти .
Решение.
.
Ответ: .
Для вычисления интеграла вида необходимо выделить производную знаменателя в числителе подынтегральной функции:
, .
Тогда исходный интеграл преобразуется в сумму двух интегралов
.
Интеграл найдем методом занесения под знак дифференциала , интеграл сводится к табличным интегралам (предварительно выделяя полный квадрат в знаменателе).
Таким образом,
. (1.8)
Пример 1.8 Найти .
Решение. Найдем . Выделим в числителе функции: .
Таким образом
,
,
{табличный интеграл типа VII}.
Ответ: .
1.6. Интегрирование рациональных функций
Функция, заданная в виде
,
называется рациональной функцией.
Если , то дробь правильная, при – дробь неправильная.
Метод интегрирования правильной рациональной дроби состоит в разложении этой дроби на простейшие. При этом следует пользоваться следующим правилом:
а) если множитель входит в разложение только в первой степени, мы поставим ему в соответствие единственную простую дробь:
;
б) если в разложение входит множитель , то есть показатель степени , то ему соответствует сумма из простых дробей:
;
в) если в разложение входит множитель только в первой степени, то в соответствие ему ставится единственная простая дробь:
;
г) если в разложение входит множитель , показатель которого , то ему соответствует сумма из простых дробей
.
Итак, общее правило интегрирования рациональных дробей:
1. Если дробь неправильная, то представить её в виде суммы многочлена и правильной дроби.
2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители.
3. Представить дробь в виде суммы простейших рациональных дробей.
4. Найти неизвестные коэффициенты способом сравнения соответствующих коэффициентов или способом частных значений (см. пример ниже).
5. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример 1.9 Разложить дробь на простейшие.
Решение. .
Найдём коэффициенты и .
1 способ – метод неопределённых коэффициентов:
.
Приравняем коэффициенты при и в обеих частях полученного равенства
.
2 способ – метод частных значений:
.
Ответ: .
Пример 1.10 Найти .
Решение. Подынтегральная функция есть неправильная рациональная дробь (степень числителя больше степени знаменателя), которую сначала представим в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, разделив числитель и знаменатель по правилу «деления углом»:
Следовательно,
.
Для представления правильной дроби в виде суммы простейших дробей преобразуем её знаменатель следующим образом:
.
Таким образом, полученную правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей:
.
Отсюда получаем
.
Найдём коэффициенты , , методом частных значений. Подставляя поочерёдно значения , , , получаем
.
Итак,
.
Ответ: .
1.7 Интегрирование иррациональных выражений
I.Интегралы вида
сводятся к интегралам от рациональной функции с помощью подстановки , где k – наименьшее общее кратное чисел .
II. Интегралы вида
рационализируется подстановкой: , где k – наименьшее общее кратное чисел .
Пример 1.11 Найти .
Решение. Т.к. наименьшее общее кратное чисел 4 и 2 равно числу 4, то делаем подстановку
, .
Получаем:
.
Возвращаясь к переменной , получим
.
Ответ: .
1.8 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
I. Интегралы вида
(1.9)
находят, применяя различные тригонометрические формулы в зависимости от значений m и n.
1) хотя бы одно из чисел m и n положительно и нечетно. Пусть , тогда интеграл (1.9) можно преобразовать следующим образом:
.
Аналогично поступают в случае .
2) оба числа m и n – четные и положительные (или нуль). В этом случае степени в подынтегральной функции понижают с помощью формул:
.
3) если . В этом случае подынтегральная функция записывается в виде дроби, в знаменателе которой выделяется множитель (или ). Выражение заменяем на и делаем замену .
Пример 1.12 Найти .
Решение. По условию одна из степеней нечетная, поэтому можно записать
.
Ответ: .
Пример 1.13 Найти .
Решение. Для вычисления интеграла применим формулу понижения степени:
.
Ответ: .
Пример 1.14 Найти .
Решение. Здесь , поэтому полагаем:
, , .
Следовательно
.
Ответ: .
II. Интегралы вида
преобразуются с помощью тригонометрических формул
.
Пример 1.15 Найти .
Решение.
.
Ответ: .
III. В интегралах вида: (или ) где m – целое положительное число, применяется подстановка (или ).
Пример 1.16. Найти .
Решение. Сделаем подстановку , . Тогда
.
Ответ: .
1.9 Универсальная тригонометрическая подстановка
Интегралы вида где – рациональная функция, аргументами которой являются и , в общем случае приводятся к интегралам от рациональных функций
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.