Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Гомельский государственный
технический университет имени П.О.Сухого»
Кафедра «Высшая математика»
Н.Н. Бородин, В.И. Гойко, Е.А. Дегтярёва
Учебно-методическое пособие
для проведения тестирования
по дисциплине «Математика». Часть II
для студентов заочного отделения
Гомель 2012
СОДЕРЖАНИЕ
1. |
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
5 |
|
1.1 |
Непосредственное интегрирование |
5 |
|
1.2 |
Метод занесения под знак дифференциала |
6 |
|
1.3 |
Метод замены переменной в неопределенном интеграле |
7 |
|
1.4 |
Метод интегрирования по частям |
9 |
|
1.5 |
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен |
11 |
|
1.6 |
Интегрирование рациональных функций |
12 |
|
1.7 |
Интегрирование иррациональных выражений |
15 |
|
1.8 |
Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции |
16 |
|
1.9 |
Универсальная тригонометрическая подстановка |
18 |
|
2. |
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
19 |
|
2.1 |
Понятие определенного интеграла |
19 |
|
2.2 |
Геометрические приложения определенного интеграла |
21 |
|
3. |
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
25 |
|
3.1 |
Основные понятия функции двух и более переменных |
25 |
|
3.2 |
Частные производные первого порядка. Полный дифференциал |
27 |
|
3.3 |
Частные производные высших порядков |
29 |
|
3.4 |
Дифференцирование сложных функций |
30 |
|
3.5 |
Неявные функции и их дифференцирование |
32 |
|
3.6 |
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума |
33 |
|
4. |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
35 |
|
4.1 |
Уравнения с разделяющимися переменными |
35 |
|
4.2 |
Однородные уравнения первого порядка |
37 |
|
4.3 |
Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли |
39 |
|
4.4 |
Уравнения в полных дифференциалах |
41 |
|
4.5 |
Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка |
42 |
|
4.6 |
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами |
44 |
|
4.7 |
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами |
46 |
|
4.8 |
Системы дифференциальных уравнений |
48 |
|
ВАРИАНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ |
49 |
||
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ |
54 |
||
ЛИТЕРАТУРА |
59 |
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1 Непосредственное интегрирование
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если
а) F(x) дифференцируема на (a;b),
б).
Если F(x) является
первообразной для функции f(x)
на (a;b),
то и любая функция , также является первообразной
для f(x) на (a;b).
Неопределенным
интегралом от функции f(x)
на (a;b)
называется множество всех первообразных функции f(x) на этом интервале. Неопределенный интеграл
обозначается символом . Неопределенный интеграл
записывают в виде формулы:
, (1.1)
где – любая
из первообразных для функцииf(x) на (a;b), С – произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла:
1)
2)
3)
4)
Таблица основных неопределенных интегралов:
I.
II.
.
III.
.
IV.
.
V.
.
VI.
.
VII.
.
VIII. .
IX.
.
X.
.
XI.
.
XII.
.
Метод непосредственного интегрирования состоит в сведении заданного интеграла к сумме или разности табличных интегралов путем тождественных преобразований подынтегральной функции.
Пример 1.1
Найти .
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:
.
Таким образом, получаем:
.
Ответ:
.
1.2 Метод занесения под знак дифференциала
Метод занесения под знак дифференциала основан на определении дифференциала функции одной переменной:
(1.2)
и свойстве инвариантности
дифференциала первого порядка: если , то
. (1.3)
В силу этого свойства, таблица интегралов оказывается справедливой, независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией.
Пример 1.2
Найти .
Решение. Применим метод занесения под знак дифференциала, воспользовавшись формулой (1.3):
Ответ:
.
1.3 Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Метод замены
переменной заключается в том, что в интеграле,
нахождение которого затруднительно, вводят новую переменную
. При этом необходимо, чтобы полученный
интеграл
стал табличным или, по крайней мере, был
бы ясен способ его нахождения. После вычисления
следует
вернуться к исходной переменной.
Пример 1.3
Найти .
Решение.
Подстановкой знаменатель упрощается, и интеграл
приводится к табличным интегралам:
.
Ответ:
.
Тригонометрические и гиперболические подстановки
Часто для
вычисления интегралов, содержащих радикалы вида применяются
тригонометрические и гиперболические подстановки.
1) Если интеграл содержит, то используем следующую замену:
(1.4)
Пример 1.4
Найти .
Решение. После
применения тригонометрической подстановки получим
.
Для вычисления полученного интеграла воспользуемся формулой:
.
Тогда
.
Для того, чтобы вернуться к исходной переменной, необходимо провести следующие преобразования:
.
Учитывая, что
;
;
, окончательно получаем:
.
2) Если
интеграл содержит радикал , то полагают
. (1.5)
Следует отметить, что часто, полученный в результате указанной подстановки интеграл, в свою очередь, оказывается довольно сложным. В таком случае можно вместо подстановки (1.5) воспользоваться гиперболической подстановкой
. (1.6)
При использовании гиперболических подстановок надлежит помнить, что
,
.
3) Интеграл,
содержащий радикал может быть упрощен путем замен
или
.
1.4 Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям основан на применении формулы
, (1.7)
где –
непрерывно дифференцируемые на некотором интервале функции.
К интегралам, которые находят методом интегрирования по частям, относятся интегралы следующих видов:
1) , где
–
полином n-ой степени от x.
В данном
случае за следует выбрать
,
а за
–
или
.
Таким
образом, в результате применения формулы (1.7) мы пришли к интегралу более
простому по отношению к исходному. Следует подчеркнуть, что формула
интегрирования по частям может быть применена несколько раз, до тех пор, пока
мы не придем к , т.е. не придем к интегралу
.
2) , где
–
полином степени n от x.
В данном
случае за обозначают
, за
. Формула интегрирования по частям
применяется до тех пор, пока не останется
.
3) .
В данном
случае за следует выбирать
;
;
, за
. Тогда в результате применения формулы
интегрирования по частям мы приходим к интегралам, содержащим только
рациональные функции и радикалы.
4) Интегралы
вида вычисляются с помощью двукратного применения
формулы интегрирования по частям и последующего решения полученного уравнения
относительно исходного интеграла. Следует отметить, что в данном случае
безразлично, что изначально принимать за
, а что
за
.
Пример 1.5
Найти .
Решение.
.
Пример 1.6
Найти .
Решение.
.
1.5 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Интегралы
вида и
после
выделения полного квадрата в квадратном трехчлене сводятся к одному из
табличных интегралов вида VII, VIII,
IX или X.
Пример 1.7Найти .
Решение.
.
Ответ:
.
Для
вычисления интеграла вида необходимо выделить
производную знаменателя в числителе подынтегральной функции:
,
.
Тогда исходный интеграл преобразуется в сумму двух интегралов
.
Интеграл найдем методом занесения под знак
дифференциала
, интеграл
сводится к табличным интегралам
(предварительно выделяя полный квадрат в знаменателе).
Таким образом,
. (1.8)
Пример 1.8
Найти .
Решение.
Найдем . Выделим
в
числителе функции:
.
Таким образом
,
,
{табличный интеграл типа VII}
.
Ответ:
.
1.6. Интегрирование рациональных функций
Функция, заданная в виде
,
называется рациональной функцией.
Если , то дробь правильная, при
– дробь неправильная.
Метод интегрирования правильной рациональной дроби состоит в разложении этой дроби на простейшие. При этом следует пользоваться следующим правилом:
а) если
множитель входит в разложение
только в первой степени, мы поставим ему в
соответствие единственную простую дробь:
;
б) если в
разложение входит множитель
,
то есть показатель степени
, то ему соответствует
сумма из
простых дробей:
;
в) если в
разложение входит множитель
только
в первой степени, то в соответствие ему ставится единственная простая дробь:
;
г) если в
разложение входит множитель
,
показатель которого
, то ему соответствует сумма из
простых дробей
.
Итак, общее правило интегрирования рациональных дробей:
1. Если дробь неправильная, то представить её в виде суммы многочлена и правильной дроби.
2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители.
3. Представить дробь в виде суммы простейших рациональных дробей.
4. Найти неизвестные коэффициенты способом сравнения соответствующих коэффициентов или способом частных значений (см. пример ниже).
5. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример 1.9
Разложить дробь на простейшие.
Решение.
.
Найдём
коэффициенты и
.
1 способ – метод неопределённых коэффициентов:
.
Приравняем
коэффициенты при и
в обеих
частях полученного равенства
.
2 способ – метод частных значений:
.
Ответ:
.
Пример
1.10 Найти .
Решение. Подынтегральная функция есть неправильная рациональная дробь (степень числителя больше степени знаменателя), которую сначала представим в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, разделив числитель и знаменатель по правилу «деления углом»:
Следовательно,
.
Для
представления правильной дроби в виде суммы
простейших дробей преобразуем её знаменатель следующим образом:
.
Таким образом, полученную правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей:
.
Отсюда получаем
.
Найдём
коэффициенты ,
,
методом частных значений. Подставляя
поочерёдно значения
,
,
, получаем
.
Итак,
.
Ответ: .
1.7 Интегрирование иррациональных выражений
I.Интегралы вида
сводятся к интегралам от рациональной
функции с помощью подстановки
, где k – наименьшее общее кратное чисел
.
II. Интегралы вида
рационализируется подстановкой: , где k –
наименьшее общее кратное чисел
.
Пример 1.11
Найти .
Решение. Т.к. наименьшее общее кратное чисел 4 и 2 равно числу 4, то делаем подстановку
,
.
Получаем:
.
Возвращаясь к
переменной , получим
.
Ответ: .
1.8 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
I. Интегралы вида
(1.9)
находят, применяя различные тригонометрические формулы в зависимости от значений m и n.
1) хотя бы
одно из чисел m и n
положительно и нечетно. Пусть , тогда интеграл (1.9)
можно преобразовать следующим образом:
.
Аналогично
поступают в случае .
2) оба числа m и n – четные и положительные (или нуль). В этом случае степени в подынтегральной функции понижают с помощью формул:
.
3) если . В этом случае подынтегральная функция
записывается в виде дроби, в знаменателе которой выделяется множитель
(или
).
Выражение
заменяем на
и
делаем замену
.
Пример
1.12 Найти .
Решение. По условию одна из степеней нечетная, поэтому можно записать
.
Ответ:
.
Пример 1.13
Найти .
Решение. Для вычисления интеграла применим формулу понижения степени:
.
Ответ:
.
Пример 1.14
Найти .
Решение.
Здесь , поэтому полагаем:
,
,
.
Следовательно
.
Ответ:
.
II. Интегралы вида
преобразуются с помощью тригонометрических формул
.
Пример 1.15
Найти .
Решение.
.
Ответ:
.
III. В интегралах вида: (или
) где m –
целое положительное число, применяется подстановка
(или
).
Пример 1.16.
Найти .
Решение.
Сделаем подстановку ,
.
Тогда
.
Ответ:
.
1.9 Универсальная тригонометрическая подстановка
Интегралы
вида где
–
рациональная функция, аргументами которой являются
и
, в общем случае приводятся к интегралам от
рациональных функций
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.